Apuntes de derivadas

Derivada de una función en un punto

La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente incremental cuando el incremento de la variable tiende acero.

[pic]

[pic]

Hallar la derivada de la función f(x) = 3x2 en el punto x = 2.

[pic]

[pic]

[pic]

Calcular la derivada de la función f(x) = x2 +4x − 5 en x = 1.

[pic]

[pic]

[pic]

[pic]

Consideremos una función y = f(x) y consideremos dos puntos próximos sobre el eje de abscisas "a" y "a+h", siendo"h" un número real que corresponde al incremento de x (Δx).

[pic]

Se llama tasa de variación (T.V.) de la función en el intervalo [a, a+h], que se representa por Δy, a la diferenciaentre las ordenadas correspondientes a los puntos de abscisas a y a+h.

Δy = [f(a+h) − f(a)]

Tasa de variación media

Se llama tasa de variación media (T.V.M.) en intervalo [a, a+h], y serepresenta por [pic]ó [pic], al cociente entre la tasa de variación y la amplitud del intervalo considerado sobre el eje de abscisas, h ó Δx, esto es:

[pic]

Interpretación geométricaLa expresión anterior coincide con la pendiente de la recta secante a la función f(x), que pasa por los puntos de abscisas a y a+h.

[pic]

ya que en el triángulo PQR resulta que:[pic]

Calcular la T.V.M. de la función f(x) = x2 − x en el intervalo [1,4].

[pic]

El índice de la bolsa de Madrid pasó cierto año de 1350 a 1510. Hallar la tasa de variación mediamensual.

[pic]

Interpretación geométrica de la derivada

[pic]

Cuando h tiende a 0, el punto Q tiende a confundirse con el P. Entonces la recta secante tiende a ser la rectatangente a la función f(x) en P, y por tanto el ángulo α tiende a ser β.

[pic]

[pic]

La pendiente de la tangente a la curva en un punto es igual a la derivada de la función en...