Apuntes De Derivadas

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

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La derivada

La idea geométrica para introducir el concepto de derivada de una función f, en un
punto a de su dominio, es la de recta tangente a la curva y = f (x) (gráfico de f )
en el punto (a, f (a)) .
Como caso concreto consideremos la parábola y = x2 . Esto significa que la
función f está definida por f (x) = x2 . ¿Cómo definir larecta tangente a esta curva
en el punto (1, 1)?
De manera informal podemos pensar en “dibujar” una recta que toque a la curva
exclusivamente en este punto, tal como se aprecia en la figura
y

5

4

3

2

1
0
-3

-2

-1

0

1

2

-1

3
x

-2

Para llegar a esta recta se considera, para cada x 6= 1, la recta que pasa por
(1, 1) y por (x, f (x)), cuya pendiente está dada por
mx =

x2 − 1
f (x) − f (1)=
x−1
x−1

Para un x muy próximo de 1, esta recta “secante” (de color verde) se aproxima a la
recta de color rojo, como se muestra en la figura de la página siguiente.
Por esto es razonable pensar que la pendiente de la recta roja esté dada por
f (x) − f (1)
x2 − 1
= lim
x→1
x→1 x − 1
x−1
= 2

m = lim

y así la ecuación de la recta tangente es
y − 1 = 2 (x − 1)
y = 2x − 1

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2

y

8

7

6

5

4

3

2

1

-4

-3

-2

-1

O

1

2

3

4

x

En general, se da la definición de derivada para una función f : I → R, definida
en un intervalo abierto I, en un punto a ∈ I, como sigue.
Definición 1 La derivada de f en el punto a es el valor del límite
f (x) − f (a)
x→a
x−a
lim

cuando él existe (como número real). Se denota por f 0 (a) .
En caso que ellímite no exista se dice que la función no tiene derivada en el
punto a, o bien que f no es derivable en a.
Así tenemos que
f (x) − f (a)
x→a
x−a

f 0 (a) = lim

Geométricamente, la derivada de f en el punto a determina la pendiente de la recta
tangente a y = f (x), en el punto (a, f (a)) . La ecuación de esta recta es
y − f (a) = f 0 (a) (x − a)
y = f (a) + f 0 (a) (x − a)

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Ejemplo 2 En el caso de f (x) = x2 , calculamos
x2 − 1
=2
f (1) = lim
x→1 x − 1
0

Más generalmente, en un punto (a, a2 ) :
x2 − a2
x→a x − a
= lim (x + a) = 2a

f 0 (a) = lim

x→a

lo que nos entrega la derivada f 0 (a) = 2a, para cualquier punto a ∈ R.
Así podemos considerar la función derivada de f (x) = x2 , definida por
f 0 (x) = 2x
lo que también seescribe
d £ 2¤
x = 2x , ∀x ∈ R
dx

Observación 3 Cuando una función se representa mediante la fórmula
y = f (x)
podemos considerar que ésta establece una relación entre la variable independiente
x y la variable dependiente y. Su función derivada se denota
dy
= f 0 (x)
dx
para indicar que la variable y se deriva con respecto a la variable x.
√
Ejemplo 4 Calcular la derivada de la función f (x) = x, x ≥ 0,en cada punto
donde exista.
Según su definición, debemos analizar puntos a mayores a cero
·√
√ ¸
x− a
0
f (a) = lim
x→a
x−a
·√
√ √
√ ¸
x− a x+ a
√
√
= lim
x→a
x−a
x+ a
·
¸
1
1
√ = √
= lim √
x→a
x+ a
2 a
1
Así, la función derivada es f 0 (x) = √ , x > 0. También se escribe
2 x

d
dx

√
( x) =

1
√
.
2 x

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4

Con esto podemos encontrar la ecuaciónde la recta tangente a la curva y =
en el punto (4, 2) : Su pendiente es m = f 0 (4) = 14 y la ecuación
y = 2+

√
x,

1
(x − 4)
4

1
x+1
4

y =

La curva y su recta tangente se muestran en el siguiente gráfico:

y

3

2

1
0
0

2

4

6

8
x

-1

Ejemplo 5 Queda de ejercicio calcular la derivada de la función f (x) = mx + b,
donde m y b son constantes, en cada punto de su dominio.
Se debe obtenerla fórmula
d
[mx + b] = m
dx
d
[b] = 0 (la derivada de una función constante es nula) y
En particular, dx
(la derivada de la función identidad vale 1 en cada punto).

Ejemplo 6 Calcule la derivada de la función f (x) = sin x.
En el punto a = 0 :
sin x − sin 0
x→0
x−0
sin x
=1
= lim
x→0 x

f 0 (0) = lim

d
dx

[x] = 1

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En un punto a 6= 0 :...