Apuntes de ecuaciones diferenciales

UPC

` Calcul III
M. Carme Leseduarte Ramon Quintanilla

` Calcul III
M. Carme Leseduarte

UPC
Imprimir Tancar Sortir ` Pagina 1 de295

Ramon Quintanilla

´ Index
UPC
1 Generalitats sobre EDO’s
` Calcul III
M. Carme Leseduarte Ramon Quintanilla

8 8

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8

Equacions diferencials . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Solucions de les equacionsdiferencials . . . . . . . . . . 13 L’equaci´ y = ay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 o Problema de Cauchy o de valors inicials . . . . . . . . . 26 Exist` ncia i unicitat de solucions . . . . . . . . . . . . . 29 e EDO d’una fam´lia o feix de corbes . . . . . . . . . . . 34 ı Interpretaci´ geom` trica de y = f (x, y). . . . . . . . . . 43 o e Traject` ries ortogonals . . . . . . . . . .. . . . . . . . 44 o 50

Imprimir Tancar Sortir ` Pagina 2 de295

2

Equacions de primer ordre 2.1 2.2

Equacions immediates . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 Equacions amb variables separables . . . . . . . . . . . 51

Equacions reductibles a variables separables . . . 57

UPC

2.3

Equacions homog` nies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 e Equacions reductibles ahomog` nies . . . . . . . 69 e

` Calcul III
M. Carme Leseduarte Ramon Quintanilla

2.4 2.5

Equacions exactes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Factor integrant. Equacions reductibles a exactes . . . . 85 M´ s coses sobre factors integrants . . . . . . . . 100 e

2.6

Equacions lineals de primer ordre . . . . . . . . . . . . 107 Resoluci´ per factors d’integraci´ . . . . . . . .107 o o Sobre la soluci´ general de les equacions lineals 112 o Resoluci´ pel m` tode de variaci´ de les constants 114 o e o Equacions reductibles a lineals . . . . . . . . . . 116

Imprimir Tancar Sortir ` Pagina 3 de295

2.7

Equacions reductibles a equacions de primer ordre . . . 122 Cas 1: No apareix la y (la variable dependent) . . 122 Cas 2: No apareix la x (la variable independent) .125

3

Aplicacions 3.1

129

UPC

Creixement de poblacions. Desintegraci´ de subst` ncies 129 o a Creixement de poblacions . . . . . . . . . . . . 129

` Calcul III
M. Carme Leseduarte Ramon Quintanilla

Desintegraci´ de subst` ncies . . . . . . . . . . . 133 o a 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 4 Buidat de dip` sits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 o Escalfament i refredament . .. . . . . . . . . . . . . . 141 Mescles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Problemes din` mics amb massa variable . . . . . . . . . 148 a Fugida de la terra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 151

Equacions lineals d’ordre n 4.1

Equacions diferencials lineals . . . . . . . . . . . . . . . 151 Problema de valor inicial . . . . . . . . . . . . . 153 Sobre lasoluci´ general de l’equaci´ lineal . . . 155 o o

Imprimir Tancar Sortir ` Pagina 4 de295

4.2

Depend` ncia i independ` ncia lineal de funcions . . . . . 160 e e

4.3

Solucions de les equacions lineals . . . . . . . . . . . . 165 Soluci´ general de l’homog` nia . . . . . . . . . 165 o e

UPC
4.4
` Calcul III
M. Carme Leseduarte Ramon Quintanilla

Equacions lineals homog` nies acoeficients constants . . 176 e Equacions lineals no homog` nies . . . . . . . . . . . . . 185 e M` tode de variaci´ de les constants o dels par` metres186 e o a M` tode dels coeficients indeterminats . . . . . . 196 e

4.5

5

Resoluci´ d’EDO’s mitjancant s` ries de funcions o ¸ e 5.1 5.2 5.3

208

S` ries de pot` ncies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 e e Resoluci´ per s` riesd’EDO’s de primer ordre . . . . . . 215 o e Resoluci´ per s` ries d’EDO’s lineals de segon ordre . . . 217 o e Solucions entorn de punts ordinaris . . . . . . . . . . . . 222 Punts singulars. S` ries de Frobenius . . . . . . . . . . . 226 e 234

Imprimir Tancar Sortir ` Pagina 5 de295

5.4 5.5 6

Transformada de Laplace

6.1

Definici´ i exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....