Apuntes de ecuaciones diferenciales

Apuntes de ecuaciones diferenciales
Jose S. Cánovas Peña 7 de mayo de 2004

Índice General
1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 1.1 Ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Soluciones de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Problemas de condiciones iniciales . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Ecuaciones diferenciales de orden uno 2.1 Ecuaciones diferenciales de variables separadas 2.2 Ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . 2.3 Ecuaciones diferenciales exactas . . . . . . . . 2.4 Factores integrantes . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Existencia y unicidad de soluciones . . . . . . 2.6 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 33 5 5 7 9 11 12 13 17 17 18 19 19 20 22 24 25

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3 Aplicaciones delas ecuaciones de orden uno 3.1 Problemas geométricos . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Familias ortogonales . . . . . . . . . . . 3.2 Descomposición radioactiva . . . . . . . . . . . 3.3 Ley de enfriamiento de Newton. . . . . . . . . . 3.3.1 Aplicación a la climatización de edificios 3.4 Problemas de mezclas químicas. . . . . . . . . . 3.5 La catenaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4 Teoría general de sistemas y ecuaciones lineales 29 4.1 Introducción a los sistemas de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 4.2 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4.3 Teoría general para ecuaciones lineales de orden n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 Resolución de ecuaciones lineales de orden n 5.1 Ecuación lineal homogénea con coeficientes constantes . 5.1.1 Ecuación de orden dos . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 Ecuación de orden n . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Aproximación a las ecuaciones con coeficientes variables: y de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Ecuación lineal homogénea de coeficientes variables . . i39 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Ecuaciones de Cauchy—Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

Índice General 5.4 Ecuación lineal no homogénea . . 5.4.1 Variación de constantes. . 5.4.2 Método de los Coeficientes 5.5 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . Indeterminados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 48 50 51

6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales lineales de orden dos 53 6.1 Oscilaciones mecánicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.2Circuito eléctrico LRC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 6.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7 Resolución de sistemas lineales de coeficientes constantes 7.1 Resolución del sistema homogéneo . . . . . . . . . . . . . . . 7.1.1 Teorema de Cayley—Hamilton . . . . . . . . . . . . . 7.2 Resolución de...