Apuntes de espacios de banach

Tema 1. Espacios de Banach
En este primer tema introduciremos los espacios de Banach, que ser´an los protagonistas
del curso, haciendo especial ´enfasis en los ejemplos. Tambi´en analizaremosalgunas de sus
propiedades fundamentales.
1. Espacios vectoriales
El primer concepto clave es el de espacio vectorial. Puesto que vamos a considerar tanto
espacios reales como complejos, usaremos Kpara denotar indistintamente al cuerpo de los
n´umeros reales R o al de los complejos C.
Denicion 1.1. Un espacio vectorial sobre K es un conjunto E con dos operaciones:
+ : E × E −→ E
(x, y) −→ x+ y
(suma)
· : K × E −→ E
(λ, x) −→ λx
(producto por un escalar)
que verican las siguientes propiedades:
(a) x + y = y + x, x, y ∈ E.
(b) (x + y) + z = x + (y + x), x, y, z ∈ E.
(c) Existe unelemento 0 ∈ E tal que x + 0 = 0, para todo x ∈ E.
(d) Para cada x ∈ E, existe −x ∈ E tal que x + (−x) = 0.
(e) α(βx) = (αβ)x, x ∈ E, α, β ∈ K.
(f) (α + β)x = αx + βx, x ∈ E, α, β ∈ K.
(g) α(x +y) = αx + αy, x, y ∈ E, α ∈ K.
(h) 1 · x = x, x ∈ E.
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Los elementos de E se llaman vectores. Cuando K = R, decimos que E es un espacio
vectorial real, y cuando K = C un espacio vectorialcomplejo.
Nota 1. Rigurosamente hablando, deber´ıamos decir que (E,+, ·) es un espacio vectorial,
pues especificar las operaciones es importante en la definici´on. Sin embargo, como en casi
todos losejemplos las operaciones son la suma y producto est´andar, omitiremos ese detalle.
Ejemplos 1.2. 1. Los espacios vectoriales m´as sencillos son RN y CN:
RN = {(x1, . . . , xN) : x1, . . . , xn ∈ R}
CN ={(z1, . . . , zN) : z1, . . . , zn ∈ C}.
2. Si X es un conjunto arbitrario y E es el subconjunto de todas las aplicaciones f : X → K,
entonces E es espacio vectorial sobre K, con las operacionesnaturales:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
(λf)(x) = λf(x).
3. Cuando tomamos como caso particular X = N en el ejemplo anterior obtenemos el
conjunto de todas las sucesiones con elementos en K, que es...