apuntes de intervalo de confianza

UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE BOLIVAR

Actividad de aprendizaje # 1
Tema: Estimacion puntual y por Intervalos de Confianza.
¿Qué es una estimación?
Cuando queremos realizar un estudio de una población cualquiera de la que desconocemos sus parámetros, por ejemplo su media poblacional o la probabilidad de éxito si la población sigue una distribución binomial, debemos tomar una muestraaleatoria de dicha población a través de la cual calcular una aproximación a dichos parámetros que desconocemos y queremos estimar. Bien,pues esa aproximación se llama estimación. Además, junto a esa estimación, y dado que muy probablemente no coincida con el valor real del parámetro, acompañaremos el error aproximado que se comete al realizarla.
Estimación puntual
Una estimación puntual del valorde un parámetro poblacional desconocido (como puede ser la media μ , o la desviación estándar σ ), es un número que se utiliza para aproximar el verdadero valor de dicho parámetro poblacional. A fin de realizar tal estimación, tomaremos una muestra de la población y calcularemos el parámetro muestral asociado ( x para la media, s para la desviación estándar, etc.). El valor de este parámetromuestral será la estimación puntual del parámetro poblacional.
Por ejemplo, supongamos que la compañía Sonytron desea estimar la edad media de los compradores de equipos de alta fidelidad. Seleccionan una muestra de 100 compradores y calculan la media de esta muestra, este valor será un estimador puntual de la media de la población.
¿Qué propiedades debe cumplir todo buen estimador?
Insesgado:Un estimador es insesgado cuando la media de su distribución muestral asociada coincide con la media de la población. Esto ocurre, por ejemplo, con el estimador , ya que μ = μ x y con estimador ya que μ = P
• De varianza mínima: La variabilidad de un estimador viene determinada por el cuadrado de su desviación estándar. En el caso del estimador , su desviación estándar es σ
σ = σ/ ,también llamada error estándar de μ .En el caso del error estándar de ,
Observar que cuanto mayor sea el tamaño de la muestra n , menor será la variabilidad
del estimador y de , por tanto, mejor serán nuestras estimaciones.
Estimación por Intervalos de confianza
En el contexto de estimar un parámetro poblacional, un intervalo de confianza es un rango de valores (calculado en una muestra) enel cual se encuentra el verdadero valor del parámetro, con una probabilidad determinada.
La probabilidad de que el verdadero valor del parámetro se encuentre en el intervalo construido se denomina nivel de confianza, y se denota 1- α. La probabilidad de equivocarnos se llama nivel de significancia y se simboliza α. Generalmente se construyen intervalos con confianza 1-α =95% (o significanciaα=5%). Menos frecuentes son los intervalos con α=10% , α = 1% u otro valor.
Para construir un intervalo de confianza en una distribución Z ~ N(0, 1), puede hallarse z1 y z2 tales que P[z1 ≤ z ≤ z2] = 1 - α, donde (1 - α)100% es el porcentaje deseado
Se desea obtener una expresión tal que
P( U1 ≤ U ≤ U2 ) = 1- α
En la distribución normal de medias muéstrales se puede calcular el intervalode confianza donde se encontrará la media poblacional si sólo se conoce una media muestral (), con una confianza determinada
Para ello se necesita calcular el punto X α / 2 o su versión estandarizada Z α / 2 junto con su "opuesto en la distribución" X − α / 2. Estos puntos delimitan la probabilidad para el intervalo, como se muestra en la siguiente imagen:

Dicho punto es el número talque:
P( ) = α/ 2 , el cual se halla en la tabla buscando Z1- α / 2 , que es el punto que deja un (1- α / 2 ) a la izquierda.
Y en la versión estandarizada se cumple que:
= 1- α , z − α / 2 = − z α / 2 Así:
Haciendo operaciones es posible despejar μ para obtener el intervalo:
=1- α , Resultando el intervalo de confianza:

Si σ no es conocida y n es grande...