Apuntes de logica 3

Apuntes de L´ogica Matem´atica
3. Razonamientos y Demostraciones

Francisco Jos´e Gonz´alez Guti´errez
C´adiz, Abril de 2005

Universidad de C´
adiz

Departamento de Matem´
aticas

ii

Lecci´
on 3

Razonamientos y Demostraciones
Contenido
3.1

3.2

3.3

3.4

3.5

Razonamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Razonamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Razonamiento V´
alido. . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Falacia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Inferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Regla de Inferencia . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Reglas de Inferencia m´
as Usuales . . . . . . .
Demostraciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2 Corolario . . . . . . . . . . . . . . .. . . . .
3.3.3 Lema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4 Demostraci´
on . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Razonamientos y Cuantificadores . . . . . . .
3.4.1 Definiciones Matem´
aticas . . . . . . . . . . .
3.4.2 Regla de Particularizaci´
on . . . . . . . . . . .
3.4.3 Regla de Generalizaci´
on . . . . . . . . . . . .
M´
etodos de Demostraci´
on . . . . . . . . . . .
3.5.1Demostraci´
on Vac´ıa . . . . . . . . . . . . . .
3.5.2 Demostraci´
on Trivial . . . . . . . . . . . . . .
3.5.3 Demostraci´
on Directa . . . . . . . . . . . . .
3.5.4 Demostraci´
on por la Contrarrec´ıproca . . . .
3.5.5 Demostraci´
on por Contradicci´
on . . . . . . .
3.5.6 B´
usqueda de Contraejemplos . . . . . . . . .

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Ten´ıa 40 a˜
nos cuando por primera vez se fij´
o en la geometr´ıa;
y ello aconteci´
o accidentalmente. Encontr´
abase en la biblioteca
de un caballero; abiertos estaban los Elementos de Euclides,
y fue la 47 El. libri I. Ley´
o la Proposici´
on. Por D...(pues
de cuando en cuando gustaba de proferir un exaltado Juramento, para mayor´enfasis) ¡esto es imposible! Ley´
o pues
la Demostraci´
on, en la que alud´ıa a una Proposici´
on previa;
proposici´
on que tambi´en ley´
o. La cual mencionaba otra anterior, que ley´
o tambi´en. et sic deinceps (y as´ı sucesivamente)
hasta quedar al fin demostrativamente convencido de aquella
verdad. Ello le hizo enamorarse de la geometr´ıa.
Thomas Hobbes (1885-1679)

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Universidad de C´
adizDepartamento de Matem´
aticas

Una demostraci´
on de una proposici´
on significa un argumento convincente de que la proposici´on es verdadera. Las demostraciones de esta clase suelen encontrarse fuera de los cursos de matem´aticas. Los
cient´ıficos que hacen predicciones con base en principios cient´ıficos dan demostraciones, en efecto, de que
sus predicciones se deducen de sus principios. Losprogramadores de ordenadores hacen aseveraciones de
que sus programas operar´
an de acuerdo con sus especificaciones y verifican estas aseveraciones con una
combinaci´on de razonamiento y experimentaci´on. Los historiadores cuyo argumento es que cierta serie de
decisiones conducen inevitablemente a cierta consecuencia, usan el razonamiento l´ogico para demostrar
lo anterior. As´ı, aunque los detalles...