Apuntes de matemáticas

2. Construcciones Geométricas

Las construcciones geométricas adquirieron gran importancia, tanto en Grecia como en India, en relación con rituales religiosos para la construcción de altares con forma y magnitud dadas. En Grecia, esto llevó al famoso problema de la duplicación del cubo, mientras que en India, lo importante en los altares era el área y no el volumen. En ambos casos, un pasoesencial era resolver el siguiente problema: hallar un cuadrado que tenga la misma área que un rectángulo dado. Mientras los griegos lo resolvieron usando fundamentalmente la construcción del medio proporcional entre segmentos, los indios utilizaron el teorema de Pitágoras para resolverlo, en alrededor del año -600, cuando difícilmente podían haber sido influenciados por los griegos, lo que nos hablade algún origen común. Los problemas aparecen en los textos; así encontramos en textos griegos, por ejemplo, un diálogo donde los delianos consultan al oráculo para liberarse de una plaga. El Dios (Apolo) les contesta a través del oráculo que deben construir un altar que tenga el doble de tamaño que el actual, pero la misma forma. La resolución de problemas de este tipo utilizando sólo la regla yel compás (aunque los mismos griegos no vacilaron en construir y utilizar otros instrumentos) preocupó a los matemáticos durante siglos. Los llamados "problemas clásicos", como la duplicación del cubo, la trisección del ángulo, la construcción del heptágono regular y la cuadratura del círculo, fueron satisfactoriamente resueltos (de hecho se probó la imposibilidad de realizar cualquiera de ellos)recién en los siglos XVIII y XIX.

1. Resolubilidad de las construcciones con regla y compás Para tratar el caso en general, veamos cómo dadas cantidades a,b,c,... se puede construir una cantidad x dependiendo de su relación algebraica con las cantidades dadas. Para ello veamos primero cómo construir a+b , a-b , ra (r ∈ Q) , a/b y a*b. Para construir a+b , transportamos sobre una recta laslongitudes a y b desde un punto, con sentidos opuestos. a a+b b

Para a-b , con el mismo sentido.

a -b a

b

Para m.a con m ∈ N sumamos a m veces, y para a/m , con m ∈ N , desde un extremo de a trazamos m veces un segmento fijo sobre una semirrecta, unimos el último punto con el otro extremo de a , y la paralela a ésta por el primer punto corta a a en a/m .

a/3 Con ello podemos construirr*a con a ∈ Q .

Para construir a/b trazamos desde O , OA y OB desde O , sobre OB buscamos D a distancia 1 de O , la paralela a AB por D corta a OA en C , con OC=a/b . B D=1 O a/b C A

Para a*b procedemos análogamente hasta obtener D , la paralela a DA por B corta a OA en C , con OC=a*b .

B D=1 O A a*b C

Es decir, toda cantidad x expresable con operaciones algebraicas racionales a partirde las cantidades dadas, puede construirse con regla y compás.

La única otra operación admitida es la extracción de raíz cuadrada. Para construir √a , trazamos sobre una recta los puntos OAB , de modo que OA=a y AB=1. La intersección de la circunferencia que tiene a OB como diámetro y la perpendicular a OB en A se cortan en Q . Los triángulos OAQ y QAB son semejantes, y llamando x=AQ , resultaa/x=x/1 2 de donde x =a y x=√a.

Q

√a.
O A B

A partir de esto es claro que es condición suficiente para que un punto pueda ser obtenido mediante construcciones con regla y compás a partir de otros, que sus coordenadas se expresen en función de las de los datos, con un número finito de operaciones racionales y extracción de raíces cuadradas. Se puede demostrar, aunque no lo haremos aquí,que esta condición también es necesaria para la construcción con regla y compás. La idea que hay detrás de la demostración es la siguiente: Si para comenzar damos un segmento (que consideraremos el segmento unitario), podemos construir cualquier segmento de medida racional. Decimos entonces que Q es un cuerpo de números. Si le agregamos √k, k∈Q, √k ∉ Q, entonces el conjunto {a+b√k, a∈Q ∧ b∈Q} es...