Apuntes de Matemáticas para la Economía I

APUNTES

MATEMÁTICAS PARA LA
ECONOMÍA I

Unión de Estudiantes de Ciencias Económicas | AECUC3M

Tema 1

Funciones de Variable Real
1.1.

La Recta Real

Los n´
umeros reales se pueden ordenar como los puntos de una recta.
Los enteros positivos {1, 2, 3, 4, . . .} que surgen al contar, se llaman n´
umeros naturales
(el cero se puede considerar o no como un n´
umero natural, nosotros no loharemos).
Las operaciones aritm´eticas de adici´on y multiplicaci´
on se pueden hacer dentro de
los n´
umeros naturales pero la resta y la divisi´on nos lleva a introducir los siguientes
n´
umeros:
cero: 3 − 3 = 0,
negativos: 2 − 6 = −4,
3
fracciones: 3 ÷ 5 = .
5
Por tanto, podemos clasificar los n´
umeros de la manera siguiente:
Naturales: N = {1, 2, 3, 4, . . .}
Enteros: Z = {. . . , −3, −2, −1, 0, 1,2, 3, 4, . . .}
el cero junto con los enteros positivos y negativos
Racionales: Q =

m
: m, n ∈ Z, n = 0
n

Irracionales:
son los n´
umeros reales que no son racionales, como por ejemplo
√
2, π, e
Reales: R = Irracionales + Racionales

2

Funciones de Variable Real

Todos estos n´
umeros aparecen como soluci´on de ecuaciones:
x − 1 = 0 → x = 1,
x + 3 = 0 → x = −3,
1
2x + 1 = 0 → x = − ,
√ 2
x2 = 2→ x = ± 2, √
x2 + 1 = 0 → x = ± −1 ∈
/√R → Son los n´
umeros Complejos:
C = {a + bi : a, b ∈ R, i = −1}.

´
´
METODOS
DE RAZONAMIENTO MATEMATICO
La definici´on de los n´
umeros naturales es la siguiente:
1 ∈ N. Si n ∈ N, tambi´en pertenece n + 1
Veamos c´omo funciona esta definici´on:
3 ∈ N ⇒ 3 + 1 = 4 ∈ N,
3/2 ∈
/ N ⇒ 3/2 + 1 = 5/2 ∈
/ N.
Esta definici´on de los n´
umeros naturales nos introduceel proceso de inducci´on:

Demostraci´
on por inducci´
on
Es una t´ecnica para probar una afirmaci´on realizada sobre cada n´
umero natural:
La afirmaci´on es verdadera para n = 1
Si la afirmaci´on es verdadera para n ∈ N, entonces tambi´en es verdadera para
su sucesor: n + 1 ∈ N
Esto implica que la afirmaci´on es cierta para todo n´
umero natural n.
n

Como ejemplo, podemos probar por inducci´onque

i=
i=1

n(n + 1)
.
2

Demostraci´
on Directa
La idea es probar la afirmaci´on directamente
Por ejemplo, para demostrar que (a − b)(a + b) = a2 − b2 ,
s´olo tenemos que operar directamente (a − b)(a + b) = a2 − ba + ab − b2 = a2 − b2 .

1.1. La Recta Real

3

Demostraci´
on por contradicci´
on o Reductio ad absurdum
Queremos probar una hip´otesis
Asumimos lo opuesto a la hip´otesis yTerminamos con una contradicci´
on
Concluimos que la hip´otesis es verdadera
√
Como ejemplo, mostraremos que 2 es irracional:
√
√
a
2 ∈ Q → 2 = fracci´on irreducible.
b
√
a
a2
2 = → 2 = 2 → a2 = 2b2 → a2 es par → a par → a = 2r →
b
b
a2 = 4r = 2b2 → b2 par → b par.
a
Si a y b son pares, entonces no puede ser una fracci´on irreducible → contradicci´
on!
b
√
2∈
/ Q.
DESIGUALDADES, VALOR ABSOLUTOPropiedades de Orden de R
a, b, c ∈ R
1. S´olo una de las siguientes afirmaciones se verifica: a < b, a = b, a > b
2. Si a < b y b < c, entonces a < c
3. Si a < b entonces a + c < b + c para todo n´
umero real c
4. Si a < b y c > 0 entonces ac < bc
Si a < b y c < 0 entonces ac > bc
Propiedad. Entre dos n´
umeros reales distintos existen infinitos n´
umeros racionales e
irracionales.
Definici´
on 1.1.1 ElValor Absoluto de x ∈ R es:
x, si x ≥ 0,
−x, si x < 0.
√
Tenemos la definici´on alternativa: |x| = x2 .
|x| =

La idea geom´etrica del valor absoluto es la de distancia. Por ejemplo, ¿qu´e puntos est´an
a distancia 3 del 0? La respuesta es |x| = 3, es decir x = ±3.
Definici´
on 1.1.2 Si x, y ∈ R la distancia entre x e y es
d(x, y) = |x − y|.

4

Funciones de Variable Real

Propiedades del valorabsoluto
x, y ∈ R
1. |x| = 0 ⇐⇒ x = 0
2. | − x| = |x|
3. |xy| = |x||y|
4. |x + y| ≤ |x| + |y|
5. ||x| − |y|| ≤ |x − y|

Intervalos en R
Intervalo abierto: (a, b) son todos los valores de x tal que a < x < b.
Intervalo cerrado: [a, b] son todos los valores de x tal que a ≤ x ≤ b.
Intervalo semi-abierto: [a, b) son todos los valores de x tal que a ≤ x < b.
Intervalo semi-abierto: (a, b] son todos los...