Apuntes de mecanica de los materiales

APUNTES DE MECÁNICA DE MATERIALES
 
TORSIÓN[1]
 
Al analizar miembros sometidos a torsión también se sigue el procedimiento de secciones en el cual, primero, se examina el equilibrio exterior del sistema en conjunto y después se aplica el método de secciones haciendo pasar un plano de corte perpendicular al eje del miembro; eliminándose todo lo que está de un lado de la sección paradeterminar el momento resistente interno necesario para mantener el equilibrio de la parte aislada.
 
Para determinar el momento torsionante o de torsión en miembros estáticamente determinados sólo se requiere una ecuación de equilibrio estático,
,
siendo el eje x el dirigido a lo largo del elemento, alrededor del cual se aplica la torsión.
 
Los ejes o barras se supondrán sin peso o sostenidas aintervalos suficientes para hacer despreciable el efecto de flexión. Se excluirán las fuerzas axiales que puedan actuar también simultáneamente en el miembro.
 
Ejemplo
Obtener el diagrama de momento torsionante del eje de la figura.
 

 
Del diagrama de cuerpo libre y la ecuación de equilibrio se tiene que
.
Aplicando el método de secciones:

 
 

 

 

 
El diagrama de momentotorsionante queda como se muestra en la figura inicial.
 
Transmisión de una potencia dada en un par de torsión que actúe a través de un eje.
 
Los miembros sometidos a momentos de torsión se utilizan mucho como ejes rotatorios para transmitir potencia mecánica.
Por definición se tiene que un caballo de vapor CV equivale a un trabajo de
,
es decir
.
Por otro lado, ya que la potenciaes un trabajo realizado en un intervalo de tiempo, puede definirse como:
 
,
Para un eje con una rotación de N revoluciones por minuto, el ángulo por unidad de tiempo es
.
Si un eje transmite un momento constante en kg-cm, efectúa un trabajo por unidad de tiempo de
;
igualando esta expresión con la de la potencia se obtiene
.
Despejando el momento se tiene una torsión
(1)
 Ejemplo
Determine el momento torsionante generado en un eje macizo de un motor de 10 CV que trabajará a 1800 RPM.
Solución
De acuerdo a la ecuación (1) se tiene un par de torsión
 

 
Hipótesis para el estudio de la torsión
 
Para el estudio de miembros o ejes sometidos a momento de torsión se parte de las siguientes hipótesis iniciales. Aunque estas hipótesis son la base para elestudio de la torsión de ejes con diversas formas de sección transversal, aquí se empezará con ejes de sección transversal circular, ya sean huecas o macizas.
 
1.        Se considera un material homogéneo elástico lineal.
Esto permite que pueda aplicarse la ley de Hooke para esfuerzos tangenciales (ver figura 1).

Figura 1. Relación lineal esfuerzo tangencial – deformación angular
 2.       Una sección transversal plana perpendicular al eje del miembro permanece plana después de la aplicación de un momento de torsión; no hay alabeos o distorsión en planos paralelos normales al eje de un miembro (ver figura 2 (b)).
3.       Las deformaciones angulares y esfuerzos tangenciales varían linealmente a partir del eje del elemento (ver figura 2 (b) y (c)).
4.       El esfuerzo tangencialen un punto de la sección transversal del miembro es perpendicular al radio que une al centro de la sección con el punto considerado (ver figura 2 (c)).
 
Nótese que los esfuerzos tangenciales se producen en planos ortogonales (ver figura 3), por lo que el estado de esfuerzos puede estar dado por el tensor
 
(2)
 

Figura 2. Miembro sujeto a momento de torsión
 
 

Figura 3. Esfuerzosen un elemento diferencial de un miembro sujeto a torsión.
 
De la cuarta hipótesis y de la figura 2(c) se tiene que el esfuerzo cortante está dado por
,
por lo tanto, la fuerza cortante actuando en un diferencial de área

es
,
la cual origina un momento interno
.
El momento total se obtiene integrando éste sobre toda el área
.
Este momento es igual y en sentido...