Apuntes De Polinomios 4 ESO

POLINOMIOS Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
Monomio:
Monomio es una expresión algebraica en la que las únicas operaciones que
aparecen entre las variables son el producto y la potencia de exponente
natural. Ejemplo: 2x2 y3 z
Partes de un monomio:
•
•
•

Coeficiente. E s e l n ú m e r o q u e a p a r e c e m u l t i p l i c a n d o a l a s v a r i a b l e s .
Parte literal. Está constituida por las letrasy sus exponentes.
Grado. Es la suma de todos los exponentes de las letras o variables.
Monomios semejantes:
Son aquellos monomios que tienen la misma parte literal. Ejemplo: 2 x 2 y 3 z e s s e m e j a n t e
a 5x2 y3 z
Operaciones con monomios:
Suma. Sólo podemos sumar monomios semejantes.
La suma de los monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal
y cuyo coeficiente es la suma delos coeficientes.
Ejemplo: 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = 5x2 y3 z
Si los monomios no son semejantes se obtiene un polinomio.
Producto de un número por un monomio
El producto de un número por un monomio es otro monomio semejante
cuyo coeficiente es el producto del coeficiente de monomio por el número.
Ejemplo: 5 · (2x2 y3 z) = 10x2 y3 z
Multiplicación de monomios

La multiplicación de monomios es otromonomio que tiene por coeficiente el
producto de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene multiplicando
las potencias que tenga la misma base.
Ejemplo: (5x2 y3 z) · (2 y2 z2) = 10 x2 y5 z3

División de monomios

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La división de monomios es otro monomio que tiene por coeficiente el
cociente de los coeficientes y cuya parte literal se obtiene dividiendo las
potencias que tenga la misma base.Ejemplo:
Potencia de un monomio
Para realizar la potencia de un monomio se eleva, cada elemento de éste,
al exponente de la potencia.
Ejemplo: (2x3)3 = 23 · (x3)3 = 8x9
(−3x2)3 = (−3)3 · (x2)3 = −27x6

Polinomio
Un polinomio es una expresión algebraica de la forma:
P(x) = an xn + an
Siendo an, an

-1

- 1

xn

- 1

+ an

- 2

xn

- 2

+ ... + a1 x1 + a0

... a1 , ao números, llamados coeficientes.n un número natural.
x. la variable o indeterminada
an es el coeficiente principal.
ao es el término independiente.
El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra
elevada la variable.

Valor numérico de un polinomio
Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número
cualquiera.

2

Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1
P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5- 3 = 4

Suma de polinomios

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del
mismo grado.
Ejemplo: P(x) = 2x3 + 5x − 3
P(x) +

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

Q(x) = 4x3 − 3x2 + 9x − 3

Producto de polinomios
Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos
segundo polinomio.
Ejemplo: P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = 4x5 − 6x4 + 2x3 +
9x2 − 12xCociente de polinomios

Regla de Ruffini

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Es un procedimiento para realizar divisiones de polinomios en las que el
divisor es un binomio del tipo ( x – a) siendo a un número real.
Para explicar los pasos a aplicar en la regla de Ruffini vamos a tomar de
ejemplo la división:
(x4 − 3x2 + 2 ) : (x − 3)
1Si el polinomio no es completo, lo completamos añadiendo los términos
que faltan con ceros.
2Colocamos los coeficientes del dividendo en una línea.
3Abajo a la izquierda colocamos el opuesto del término independendiente
del divisor.
4Trazamos una raya y bajamos el primer coeficiente.

El último número obtenido, 56 , es el resto.
5El cociente es un polinomio de grado inferior en una unidad al dividendo y
cuyos coeficientes son los que hemos obtenido.
x3 + 3 x2 + 6x +18

Teorema del resto
Elresto de la división de un polinomio P(x), entre un polinomio de la forma
(x − a) es el valor numérico de dicho polinomio para el valor: x = a.

Teorema del factor
El polinomio P(x) es divisible por un polinomio de la forma

4

(x − a) si y sólo si P(x = a) = 0.
Al valor x = a se le llama raíz o cero de P(x).
Raíces de un polinomio son los valores de x que anulan el polinomio.
Factorización de...