Apuntes de programacion lineal

Programación lineal
La programación lineal intenta optimizar -maximizar o minimizar- una función objetivo lineal sometida a una serie de restricciones, también lineales. Algunos ejemplos sencillos de problemas económico-empresariales que pueden plantearse y resolverse aplicando esta técnica son los siguientes: a) Determinar el programa de producción que maximice el beneficio de una empresasometida a unas limitaciones sobre disponibilidad máxima de recursos productivos, como jornada laboral, recursos financieros, materias primas, capacidad de las máquinas, etc. b) Determinar el programa de producción que minimiza el coste de la empresa, sujeto a normas sobre composición de productos o niveles mínimos de satisfacción de ciertos aspectos.

CONCEPTOS BÁSICOS

Factores productivos sonlos recursos empleados en la fabricación del bien o prestación del servicio (materia prima, horas-hombre, horas-máquina, etc.) Estos factores productivos podemos clasificarlos en: a) No Limitados: Aquellos que no presentan un problema económico para la empresa al no estar sometidos a restricción su disponibilidad, aunque supongan un coste. b) Limitados: Son los recursos considerados fijos y que noson ampliables a corto plazo, por lo que suponen una limitación para la expansión de la producción. Por ejemplo: superficie disponible de taller, la capacidad instalada de una cierta maquinaria o las existencias de una determinada materia prima. El “vector de existencias” es el que recoge las cantidades máximas disponibles de los distintos factores limitados y/o los valores de las normas a cumplir.Proceso productivo es la combinación de los diferentes factores productivos en unas ciertas cantidades para la obtención de un determinado volumen de producto o la prestación de un servicio. Cada proceso productivo está representado por un “vector proceso”. El nivel de realización de un proceso productivo es el número de veces que se lleva a cabo dicho proceso productivo y es también lavariable de decisión básica del problema.

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Rendimiento de un proceso productivo es el nombre genérico que recibe la diferencia entre los ingresos y los gastos generados por un proyecto cada vez que es realizado. A partir de estos rendimientos o beneficios unitarios se formula la función objetivo.

Restricciones recogen las limitaciones existentes tanto por lo que respecta a la nodisponibilidad de algún factor, como a la existencia de cualquier otra limitación que deba ser recogida porque influye sobre las decisiones a tomar. Las restricciones pueden ser igualdades o desigualdades.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

Se trata de decidir, en un conjunto de procesos productivos con su rendimiento, qué procesos y a qué niveles deben ser realizados para, satisfaciendo todas las posiblesrestricciones, optimizar la función objetivo. El nivel de realización de los diferentes procesos, que resulta de aplicar el método, es lo que se conoce como programa de producción (qué bienes producir y en qué cantidades). La representación es como sigue: La función objetivo lineal a optimizar -maximizar o minimizar: Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn

Sujeta a las siguientes restricciones también lineales:a11x1 + a12x2 + …+ a1nxn >=< b1 a21x1 + a22x2 + …+ a2nxn >=< b2
…………………………………………………………..

am1x1 + am2x2 + …+ amnxn >=< bm

Así como a las restricciones de no negatividad de las variables: xj >= 0 Siendo: xj = Proceso productivo j cj= Rendimiento del proceso productivo j bi= Valor de la existencia máxima del factor limitado i, o valor de la norma o restricción a cumplir. aij= Cantidadconsumida del factor limitado i en el proceso productivo j

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ALGUNOS TIPOS DE RESTRICCIONES FRECUENTES EN PROBLEMAS DE PRODUCCIÓN
A) Capacidad de las máquinas

Una empresa se dedica a la fabricación de tres bienes, para lo que dispone de una máquina cuya capacidad máxima (o producción por hora) en la elaboración individual de cada producto asciende a 50, 25 y 75 respectivamente. unidades de...