apuntes de sucesiones

Cap´
ıtulo 2

Sucesiones y progresiones.
Una notable herramienta matem´tica la conforma el concepto de sucesi´n, si bien aplicada a ideas de ´
a
o
ındole mas bien
anal´
ıtico, ya que las sucesiones nos permitir´n hablar m´s adelante de conceptos como los l´
a
a
ımites, la continuidad y
derivabilidad de funciones... Ser´ m´s adelante cuando le saquemos el mayor partido a lassucesiones, ahora tan s´lo
a a
o
vamos a ver el concepto de n´meros en sucesi´n, as´ como tres tipos de sucesiones muy curiosas; las aritm´ticas (o
u
o
ı
e
aquellas cuya diferencia entre t´rmino y t´rmino es constante), las geom´tricas (o aquellas cuyo cociente entre t´rmino
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e
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y t´rmino es constante), y las recurrentes (o aquellas cuyos t´rminos se obtienen a partir de sumas o restas delos
e
e
anteriores). De las dos primeras aprenderemos a deducir sus propiedades fundamentales, como son la suma cualquiera
de t´rminos.
e

2.1.
2.1.1.

Sucesi´n de n´ meros reales
o
u
Concepto de sucesi´n de n´meros reales
o
u

Definici´n 2.1 (Sucesi´n de n´meros reales) Una sucesi´n de n´meros reales es una colecci´n
o
o
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o
u
o
ordenada de n´meros reales, esto es, se puedehablar del primero, el segundo, el tercero... Cada uno
u
de los n´meros que forman la sucesi´n se llama t´rmino, y se designa por una letra y un sub´
u
o
e
ındice
natural.
Por ejemplo, la sucesi´n de los primeros n´meros naturales est´ formada por los n´meros 0, 2, 4, 6, 8, · · ·.
o
u
a
u
Cada uno de los mismos se llama t´rmino; el 0 es el primer t´rmino, el 2 es el segundo, el 4 esel tercero...
e
e
Si designamos por (an ) a la citada sucesi´n (la sucesi´n en general se escribe entre par´ntesis), cada uno
o
o
e
de los t´rminos se va a escribir matem´ticamente como la letra que da nombre a la sucesi´n (en este caso
e
a
o
‘a’), acompa˜ada de un sub´
n
ındice que indica el lugar dentro de la misma; a1 indicar´ el primer t´rmino (el
a
e
0), a2 el segundo (el 2),a3 el tercero (el 4), etc. Todo ello lo podr´
ıamos escribir:
(an ) = {La sucesi´n de los naturales pares} = {a1 = 0; a2 = 2; a3 = 4; a4 = 6; · · ·}
o
Antes de salir de este ejemplo quiero decir que en este caso es posible identificar los diferentes t´rminos de
e
la sucesi´n con una f´rmula, esto es, que para cada valor que le demos a la f´rmula se obtenga uno de los
o
o
o
t´rminos1.Dicha f´rmula consiste en decir que an = 2(n − 1); as´ para n = 1 a1 = 2(1 − 1) = 2 · 0 = 0,
e
o
ı,
para n = 2 a2 = 2(2 − 1) = 2 · 1 = 2, para n = 3 a3 = 2(3 − 1) = 2 · 2 = 4, esto es, cambiando la n
de la f´rmula por 1, 2, 3, 4, · · ·, obtenemos los correspondientes valores a1 , a2, a3, a4, · · ·. A dicha f´rmula la
o
o
llamaremos t´rmino general de la sucesi´n.
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o

Nota 2.1 Se ve que elorden de los t´rminos de la sucesi´n es fundamental, y no es lo mismo trabajar
e
o
con la sucesi´n 0, 2, 4, 6, 8, · · · que con la 0, 4, 2, 6, 8, · · ·. Ambas son distintas aunque solo difieran en
o
el orden de dos t´rminos. Igualmente, no es lo mismo tener 0, 2, 4, 6, 8, · · · que 0, 2, 6, 8, 10 · · ·, esto
e
es, dos sucesiones que difieren en un s´lo t´rmino son distintas.
o e
Definici´n2.2 (t´rmino general de una sucesi´n) se llama t´rmino general de una sucesi´n a
o
e
o
e
o
la f´rmula en funci´n de n, que nos permite asignar a cada n´mero natural n ≥ 1 un elemento
o
o
u
de la sucesi´n, sin m´s que sustituir todas las ‘n’ de la f´rmula por el n´mero natural que estemos
o
a
o
u
considerando en cada momento. Dicho t´rmino general caracteriza perfectamente a lasucesi´n.
e
o
1 Cambiando

la n de la f´rmula por el correspondiente valor de la misma; 1, 2, 3, 4, 5, · · ·
o

1

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4◦ESO – Opci´n A — Departamento de Matem´ticas del I.E.S. Vicente Aleixandre, BARBATE
o
a

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Nota 2.2 Es importante hacer un comentario acerca del comienzo de las sucesiones. Estas tienen
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un ´
ındice natural, por lo que se numeran a partir de los n´meros...