APUNTES DE TRIGONOMETRIA I

TRIGONOMETRÍA I

UNIDAD 1

INTRODUCCIÓN
El término trigonometría proviene de las palabras griegas trígonon (triángulo) y métron
(medida) y podemos considerar que es la parte de la geometría que estudia las relaciones métricas
entre los lados y ángulos de los triángulos.
Esta disciplina surgió con la necesidad de resolver problemas relacionados con los elementos
de un triángulo (lados y ángulos)tanto planos como esféricos. Tanto Aristarco de Samos como
Hiparco, astrónomos griegos anteriores a Cristo, establecieron una relación entre los lados y los
ángulos de un triángulo, lo que llamamos razones trigonométricas, que constituyen la base de la
trigonometría.
La trigonometría, tanto plana como esférica, es de especial importancia y útil en topografía,
cartografía, navegación marítima yaérea, astronomía, construcción, mecánica, diseños gráficos, etc.
Es un ejemplo claro de la aplicación de la ciencia matemática a la resolución de problemas reales.

ÁNGULO
Un ángulo es la parte del plano comprendida entre dos semirrectas, llamadas lados, que
tienen el mismo punto de origen o vértice.
Pongamos nombre a cada uno de los elementos que
interviene en un ángulo:
- O es un punto del plano quese llama vértice del ángulo.
- r, s: son semirrectas de origen O y se llaman lados del ángulo.
Nótese que una de las regiones es “menor” que la otra, es
decir, uno de los ángulos es más “cerrado” que el otro.
Formas de expresar un ángulo. Hay diversas maneras de expresar un ángulo. Las más habituales:
-

Con letras griegas minúsculas: α, β, γ…

-

Utilizando el “nombre” del vértice O, A, B, C…,también se suele usar un ^ en la parte
superior.

-

Utilizando un punto de cada lado y el vértice (este situado en el centro) AOB o también
A𝑂̂B.

Como un punto (vértice) y dos semirrectas (lados) determinan dos ángulos, para indicar a cuál de
ellos nos referimos es habitual señalarlo con un arco de circunferencia entre los lados. Gráficamente:

MATEMÁTICAS I

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TRIGONOMETRÍA I

UNIDAD 1

Enesta figura tenemos dibujados cuatro
ángulos: α , β , 𝐵̂ , P𝑂̂Q

Ángulo orientado. Sentido y signo de un ángulo. En algunos problemas es conveniente dar a los
ángulos una orientación o sentido de las dos posibles que puede tener y asignaremos a cada uno de
ellos un signo, positivo o negativo.
Aclaremos esto, supongamos un ángulo α de vértice O y lados r y s. Podemos considerar el
ángulo α tomado enel sentido de “el lado r hacia el lado s” o de “el lado s hacia el lado r”. Es decir:

En el ángulo de la izquierda puede apreciarse que el sentido es el del movimiento contrario a
las agujas del reloj (este será el sentido positivo). En el ángulo de la derecha el sentido es el mismo
que el movimiento de las agujas de un reloj (este será el sentido negativo). Por tanto, en el primer
caso el ánguloα es un ángulo positivo y en el segundo caso es un ángulo negativo.
Un ángulo se dice orientado cuando se considera su signo, es decir, si es positivo o negativo.
Ángulos opuestos. Si α es un ángulo orientado (será positivo o negativo), al ángulo de igual tamaño
pero con orientación contraria, se llama ángulo opuesto a α y se expresa por –α. Si α es positivo, -α
es negativo y viceversa.Gráficamente:
Observamos que:
- α es positivo y –α es su opuesto y es
negativo.
- β es un ángulo negativo. Entonces – β es el
opuesto de β y es positivo.
NOTA: –α se lee “menos alfa”
Medida de un ángulo. Lo mismo que las longitudes, las superficies, el tiempo etc. son magnitudes
que se pueden medir (en metros, metros cuadrados, segundos, etc.), los ángulos también son
magnitudes que pueden medirse. La mayor omenor apertura de los lados de un ángulo nos dará su
mayor o menor medida, al margen de que por su orientación podamos asignarle un signo positivo o
negativo.

MATEMÁTICAS I

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UNIDAD 1

Unidades de medida de un ángulo. Existen diversas unidades para medir ángulos, siendo las más
usuales las siguientes: el radián, el grado sexagesimal y el grado centesimal. En estos...