Apuntes De Trigonometria

Apuntes Trigonometría. 4º ESO.
Conceptos previos:
Notación:
En un triángulo, los vértices se denotan con letras
mayúsculas (A, B y C). Los lados se denotan con la letra
minúscula del vértice opuesto al lado. Los ángulos se
denotan con el acento circunflejo encima de la letra
mayúscula que denota el vértice del ángulo:
En un triángulo rectángulo, el ángulo recto se asigna la letra A y
así, a lahipotenusa la letra a minúscula, siendo b y c los dos
catetos. Se utilizan las letras griegas  y  para nombrar a
los ángulos B y C respectivamente.
En un triángulo rectángulo se verifica el teorema de Pitágoras
(Cuadrado de la hipotenusa es igual a suma de los cuadrados de
los catetos. a2 = b2 + c2 ). También se cumple que los dos ángulos
agudos son complementarios (  +  = 90º ).

1.- Razonestrigonométricas de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas del ángulo  (ángulo agudo de un triángulo rectángulo) se definen
como los siguientes cocientes entre los lados del triángulo:
cateto opuesto a  b
=
hipotenusa
a
cateto contiguo a  c
cos =
=
hipotenusa
a
cateto opuesto a  b
tag =
=
cateto contiguo a  c
sen =

2.- Propiedades de las razonestrigonométricas de ángulos agudos:
I.- El seno de un ángulo agudo es un valor mayor que cero y menor que 1.
0 < sen α < 1
Demostración:
Por ser b un cateto y a la hipotenusa, se cumple que 0ba .
0

b

a

Si dividimos en los dos desigualdades por a queda: a  a  a ⇒0sen 1
II.- El coseno de un ángulo agudo es un valor mayor que cero y menor que 1.
0 < cos α < 1
Demostración: Análoga a la anterior ahorapara el cateto c en lugar de b.

III- Relaciones trigonométricas:
1º.- Teorema fundamental de la trigonometría:
2

2

sen cos =1

Demostración:

2

2

 

sen2 cos 2 =
sen 

2

2

2

2

2

b
c
b c b c
a

= 2  2=
=th Pitágoras 2 =1
2
a
a
a a
a
a

2ª tag = cos 
Demostración:

b
sen  a b ·a b
= =
= =tag 
cos  c c· a c
a

3ª Si dos ángulos (α y β) son complementarios ( α + β =90º)entonces se cumple:
sen =cos 
cos =sen 

Demostración: Si dos ángulos son complementarios, se pueden situar en un triángulo rectángulo
siendo el cateto opuesto de uno el contiguo de otro por lo que con la notación habitual tenemos:
b
sen = =cos 
a

y

c
cos = =sen 
a

3.Razones trigonométricas de los ángulos 30º, 45º y 60º.
I.- Razones trigonométricas del ángulo 45º:
Consideramos untriángulo rectángulo isósceles cuyos dos ángulos agudos miden 45º:
Aplicando las definiciones de seno, coseno y tangente a este
triángulo isósceles, teniendo en cuenta que b = c y el
teorema de pitágoras:
a2=b2 c2 =b2b2=2b2  a= 2 b2=b  2
b
b
1 2
sen 45º= =
= =
a b2 2 2
c
b
1 2
sen 45º= =
=
=
a b 2 2 2
b b
tag 45º= = =1
c b

II.- Razones trigonométricas de los ángulos 60º y 30º:
Consideramos untriángulo rectángulo cuyos ángulos
agudos midan 30º y 60º:
Observamos, considerando el triángulo equilátero formado
con dos , que se cumple en este triángulo que el cateto
menor 'c' es la mitad de la hipotenusa 'a' , considerando
además el Teorema de Pitágoras:
2



a
a
2
2
2
2
2
y además a =b c  a =b 
2
2
2
2
2
a 3a
2
2
 3a = a  3
b =a − =
 b=
4
4
2
2
c=



Así, aplicando ahora ladefinición de seno, coseno y tangente para el ángulo α ( 60º) y β (30º):
a3
b
2
3
sen 60º= =
=
a
a
2
a
y del mismo modo para 30º:
c 2 1
cos 60º= = =
a a 2

a
c 2 1
sen 30º= = =
a a 2
a3
b
2
3
cos 30º= =
=
a
a
2

III.- Tabla resumen de los ángulos agudos notables:

sen α
cos α
tag α

30º

45º

60º

1
2

2

3

2

2

3

2

2

2

1
2

3

1

3

3

3.Razones trigonométricas de ánguloscualesquiera:
Definición: Se llama circunferencia goniométrica a una
circunferencia de radio 1 y con centro en el origen de un sistema
de ejes coordenados.
Observación:
Todo ángulo se puede situar en la circunferencia goniométrica
situando el vértice del ángulo en el centro de la circunferencia y
fijando un lado del ángulo el radio que va hasta el punto (1,0).
De esta manera, el punto donde el otro lado...