APUNTES DE C NICAS

UNIDAD
Geometría Analítica.

Introducción

Es habitual señalar que en geometría se hable de métodos sintéticos y de métodos analíticos. El estudio sintético es el que se hace con métodos deductivos que no precisan de representaciones mediante coordenadas y cálculos algebraicos, mientras que el analítico si hace uso de ellos.
Las coordenadas de un punto son un par (en el plano) o una terna (enel espacio) de números que identifican el punto.
La correspondencia entre puntos y números es fundamental pero no resuelve por sí sola la cuestión de crear una geometría que se pueda tratar algebraicamente.
Una prueba de ello es que, desde tiempos remotos, era sabido; los geógrafos egipcios y griegos y los geómetras griegos ya usaron coordenadas sin, por ello, acercarse a la creación de lageometría analítica.
Para permitir el nacimiento de la geometría analítica faltaban dos pasos adicionales: Uno, establecer la correspondencia entre álgebra y geometría (lo que se consigue a lo largo de la Edad Media); dos, establecer la correspondencia entre curva y función (que se consigue en tiempos modernos).
Aunque los griegos, por ejemplo Arquímedes, ya usaban representaciones geométricas paraproblemas aritméticos, no se consolida el uso hasta que los algebristas musulmanes -Al-Joarizmi y sus sucesores- e indios utilizan a partir del siglo IX representaciones gráficas para ecuaciones cuadráticas.
Por el contrario, sólo más tarde (siglos XIII al XVI) los matemáticos europeos -Fibonacci, Viète, etc.- se familiarizan con la práctica contraria: Resolver problemas geométricos mediante cálculosalgebraicos.
Esto último, que hoy resulta simple y casi obvio (tanto o más que la correspondencia en el sentido contrario), sólo fue posible cuando se fue transformando el álgebra retórica en simbólica.
El último paso, asociando líneas a sus ecuaciones, lo dan Fermat (1601 - 1665) y Descartes (1596 - 1650) en el siglo XVII. Aunque no hay dudas de la originalidad de los trabajos de geometríaanalítica del primero, hacia los años 20 y 30 del siglo, lo cierto es que se publicaron después de su muerte. En cuanto al libro de Descartes, La Geómétrie, aparece en 1637 (como apéndice a su Discours de le Méthode) y en él se dan ya las ideas básicas de la geometría analítica.
En los dos siglos siguientes el Cálculo se desarrolla notablemente y la geometría se convierte en uno de sus campos deaplicación hasta hacer aparecer una especialidad: La geometría diferencial.

Desarrollo de Contenidos

Eje de Coordenadas
Un Sistema de Coordenadas Cartesianas en el plano, es un Conjunto de dos rectas reales las cuales se intersectan perpendicularmente en un punto llamado origen del plano; las cuales dividen al plano en cuatro cuadrantes en el cual se ubican puntos de la forma llamados paresordenados.
La recta horizontal se denomina eje de las abscisas o eje X.
La recta vertical se denomina eje de las ordenadas o eje Y.
En el primer cuadrante se ubican todos los pares ordenados de la forma ; talque:
En el segundo cuadrante se ubican todos los pares ordenados de la forma ; talque:
En el tercer cuadrante se ubican todos los pares ordenados de la forma ; talque:
En el cuarto cuadrante se ubicantodos los pares ordenados de la forma ; talque:

Distancia entre dos Puntos
Sean dos puntos en el plano; entonces la distancia entre se define como:


Ejemplo:
Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos es isósceles.

Solución:

El triángulo es equilátero.

Propiedades:


Coordenadas del Punto Medio.
Sean dos puntos en el plano; entonces las coordenadas del punto medioentre del se define como:

La Recta:
La recta es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que satisfacen la ecuación lineal:

Las características principales de la recta son:
: es el símbolo de la recta.
: es la pendiente de la recta. La pendiente es la tangente del ángulo de inclinación de la recta con respecto a los ejes del plano; y se cumple que:.

Ecuaciones de la Recta:...