Apuntes de álgebra

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GUIA DE ALGEBRA I

“ALGEBRA es la parte de la Matemática que por medio de una simbología propia, generaliza y simplifica los principios relativos a la Aritmética”. (Alvarado García, Rodolfo. “Algebra para Universitarios”).“ALGEBRA es parte de las Matemáticas que estudia la cantidad considerada del modo más general, yse vale de letras para representarla”. (Diccionario para la Lengua Española). |

CONCEPTO | EXPRESION | EJEMPLO |

CONJUNTOS |

CONJUNTO: es relacionar ó agrupar en un todo los objetos distintos de nuestra intuición ó pensamiento.CONJUNTO: es la colección de objetos bien definidos llamados elementos. |

METODOS PARA ESPECIFICAR UNCONJUNTO |

DESCRIPTIVO Ó POR “COMPRENSIÓN” P = { x / x es un número dígito } Q = { x / x es una letra vocal } S = { x / x es un número dígito primo } T = { x / x es una letra del abecedario } | ENUMERACION O “POR EXTENSIÓN ” P = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 } Q = { a,e,i,o,u } S = { 2,3,5,7 } T = { a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k,l…..……....z } | Entonces:P S S P T Q Q T |

LOS NUMEROS |

1. NUMEROS NATURALES ( N ), sirven para contar y son del 0 al infinito. N E ó Z | N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 ,7, . . . . . ∞ } | 0,1,2,3,4,5,6,7,8, . . . . . . . ∞ |
2. NUMEROS ENTEROS ( E ó Z ), son todos aquellos números positivos, negativos y el cero. EN | E ó Z ={– ∞...–3,–2,–1,0,1,2,3...+ ∞} | –∞…..–3,–2,–1,0,1,2,3..…+ ∞ |
3. NUMEROS RACIONALES ( Q ), es el cociente de dos números enteros y cuyo denominador es diferente a cero. N E ó Z Q | Numerador donde b0 Denominador | Fracción propia : Fracción impropia : Fracción mixta : 5 |
4.NUMEROS IRRACIONALES ( I ), son los que NO pueden representarseexactamente. I R | | ; ; ; 2.2360; . |
5. NUMEROS REALES ( R ), son todos los números Naturales, Enteros, Racionales e Irracionales. Q I = R | – – ∞.....4,–3,–2,–1,0,1,2,3,4 . . . . + ∞ –2.415 e | 0, 3, – 8, –15, , – , . |
6. NUMEROS COMPLEJOS ( C ), es la suma algebraica de un real con un imaginario. C = R i |a + biC = | – 2 + 3 i ; + 5 + 4 i ; + 4 – 8 i |

PROPÍEDADES DE LOS NUMEROS |
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1. CERRADURA, en la suma ó multiplicación de números naturales; el resultado siempre será otro número natural. | m + n = Número natural ( m ) ( n ) = Número Natural | 5 + 3 = 8 ( 5 ) ( 3 ) = 15 |
2. CONMUTATIVA, en la suma ó multiplicación, “el ordende los sumandos ó factores no altera la Suma ó el Producto”. | m + n = + n + m( + m ) ( + n ) = ( + n ) ( + m ) | + 5 + 4 = + 4 + 5 ( + 5 ) ( + 4 ) = ( + 4 ) ( + 5 ) |
3. ASOCIATIVA, en la suma ó multiplicación, los sumandos ó factores se pueden agrupar en la forma que más convenga sin que altere la suma ó producto. | ( m + n ) + q = m + ( n + q ) | ( 6 + 3 ) + 4 =6 + ( 3 + 4 ) |
4. IDENTIDAD, en la suma: todo número sumado con cero (El 0 es el neutro aditivo), da como resultado el mismo número. En la multiplicación: todo número multiplicado por uno (El 1 es el neutro multiplicativo), el resultado es el mismo número. | m + 0 = m El cero es el neutro aditivo ( m ) ( 1 ) = mUno es el neutro multiplicativo |8 + 0 = 8 ( 5 ) ( 1 ) = 5 |
5. DISTRIBUTIVA, el resultado que se obtiene de multiplicar la suma de dos ó más números por un mismo factor, es igual al resultado que se obtiene de multiplicar el factor por cada sumando y sumar después los productos parciales que resulten de cada multiplicación. | m ( n + q ) = ( m )( n ) + (m)(q) | 5 ( 7 + 8 ) = ( 5 ) ( 7 )...