Apuntes Derivadas

Programa de Prosecución de Estudios Ingeniería Civil Industrial

UNIDAD DERIVADAS Introducción Iniciaremos la unidad con un recuerdo del concepto de pendiente, el cual es importante, ya que más adelante tendremos que encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva, la cual nos permitirá determinar si la curva es creciente, decreciente, si tiene puntos máximos o mínimos (aplicaciónmatemática de la derivada). Pero, esta no es la única aplicación de la derivada, en el área de la física tiene relación con la velocidad instantánea, en economía permite calcular el costo marginal, ingreso marginal, etc. Además, las derivadas nos ayudaran a desarrollar problemas de razón de cambio (por ejemplo, variación de una variable con respecto al tiempo) y problemas de optimización (por ejemplo,maximizar utilidad, minimizar el costo, etc). Conceptos Previos La forma principal de una recta es y = mx + n, donde m representa y n es el coeficiente de posición, para encontrar esta ecuación es necesario conocer la pendiente y un punto, o bien dos puntos: y − y0 y − y 0 = m( x − x0 ) m= 1 x1 − x0 Gráficamente la pendiente tiene las siguientes interpretaciones: y y

x

x En este caso la rectaes decreciente, luego la pendiente es negativa m < 0 y

En esta gráfica se observa que la recta es creciente, es decir la pendiente es positiva m > 0 y

x

x

Para una recta horizontal se tiene que la pendiente es igual a cero m = 0

En una recta vertical la pendiente no está definida ∃ m /

Derivadas en una Variable En el siguiente gráfico, se observa que P y Q son dos puntosdistintos de la curva, la recta que une ambos puntos es una secante a la curva. Si Q se aproxima a P, la secante se aproxima a ser tangente en P, y cuando Q está infinitamente cerca de P, la recta que une ambos es prácticamente la tangente y a la curva en P f(xo+h) Q

f(xo) y=f(x)

P xo xo + h x

Por lo tanto la pendiente de la recta secante corresponde a:

m=

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) f ( x0 + h) − f ( x 0 ) = x0 + h − x0 h

Ahora, si acercamos Q hasta P infinitamente, el incremento h tiende a cero, luego la recta que pasa por P y Q es una tangente, y la pendiente de esta recta corresponde a:
m = Lím
h →0

f ( x 0 + h) − f ( x 0 ) h

Es decir, para cada punto de la función existe una recta tangente y por ende una pendiente distinta, lo cual se torna un proceso lento, peroexiste una función que nos ayudará a encontrar la pendiente de una forma rápida, dicha función recibe el nombre de Función Derivada. Definición La derivada de la función f(x) es aquella función, denotada por f ´ tal que su valor en cualquier punto (x, f(x)) de su dominio está dado por:

f ' ( x) = Lím
h →0

f ( x + h) − f ( x ) h

si el límite existe.

Observación: Si ( x0 , f ( x0 ))pertenece a la curva, entonces la función derivada evaluada en x 0 , corresponde a la pendiente de la recta tangente en dicho punto: m = f ' ( x0 ) df ( x) dy f ' ( x) = y ' = = Notación dx dx Ejemplo Encuentre la derivada de la función f ( x) = x 2 , además encuentre la pendiente de la recta tangente cuando x = 3 Solución Aplicando la definición se obtiene:

( x + h) 2 − x 2 h →0 h 2 x + 2 xh + h 2− x 2 f ' ( x) = Lím h →0 h h(2 x + h ) f ' ( x) = Lím h →0 h ' f ( x) = Lím(2 x + h ) f ' ( x) = Lím
h →0

f ( x) = 2 x
'

Si reemplazamos el valor que se indica obtiene:

x = 3 en la derivada, se

m = f ' (3) = 2 ⋅ 3 = 6
Observación: la función derivada es f ' ( x) = 2 x y ella nos permite hallar la pendiente de la recta tangente en cualquier punto que pertenezca a la curva. Porejemplo, la pendiente de la recta tangente que pasa por el punto (4,16) es: m = f ' (4) = 8 Del ejemplo anterior, podemos observar que obtener la función derivada a través de la definición es un proceso muy lento, por esta razón existe y utilizaremos la siguiente tabla de derivadas:

Tabla de Derivadas 1. f ( x) = c 2. f ( x) = x 3. f (u ) = u n 4. f (u ) = u 5. f (u ) = n u 6. f (u ) = senu 7....