Apuntes Erwin

Cálculo en Varias Variables
Apuntes del curso

Profesor: Erwin Topp P.
Edición y Colaboración: Justine Pereira P.
2012

Índice general
1. TOPOLOGIA EN Rn
1.1. Nociones de Topología . . . . . . . . . .
1.2. Empezar a Medir: Distancias y Normas.
1.2.1. Normas y Rn . . . . . . . . . . . .
1.3. Bolas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Sucesiones en Rn . . . . . . . . . . . . .
1.4.1.Convergencia de Sucesiones . . .
1.4.2. Álgebra de límites en Rn . . . . .
1.4.3. Subsucesiones . . . . . . . . . . .
1.5. Teorema de Bolzano-Weierstrass . . . .
1.6. Sucesión de Cauchy . . . . . . . . . . . .
1.7. Tópicos en Topología . . . . . . . . . . .
1.8. Demostración del Teorema 1.1. . . . . .
1.9. Comentarios del Capítulo. . . . . . . . .

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2. FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES
2.1. Funciones en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.1. Grafo de una función . . . . . . . . . .
2.2. Límites y Continuidad . . . . . . . . . . . . .
2.2.1. Teorema de Límite por Coordenadas .
2.2.2. Método de Resolución de Límites . .
2.3. Propiedades Básicas de Límites de Funciones
2.3.1. Álgebra de Límites . . . . . . . . . . .
2.3.2. Límite de la Composición . . . . . . .
2.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1.Continuidad por Componentes . . . .
2.4.2. Álgebra de Continuidad . . . . . . . .
2.4.3. Continuidad de la composición . . . .
2.5. Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . .

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3. DIFERENCIABLIDAD EN Rn
3.1. Funciones Derivables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Derivabilidad por Componentes . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2. Álgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2.
3.3.
3.4.
3.5.

Derivadas Direccionales y Parciales .
Regla de la Cadena . . . . . . . . . .
Aproximación de Primer Orden . . .
Aplicaciones del vector gradiente . .

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4. TEOREMA DE LA FUNCIÓN INVERSA E IMPLÍCITA
4.1.Teorema del Punto Fijo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. Teorema de la Función Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3. Teorema de la Función Implícita . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR
5.1. Derivadas de Orden Superior . . . . . . . . .
5.1.1. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . .
5.2. Matriz Hessiana . . . . . . . . . . . . .. . . .
5.3. Taylor de Segundo Orden en Varias Variables
5.4. Demostración del Teorema de Taylor . . . . .

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6. OPTIMIZACIÓN
6.1. Optimización Sin Restricciones . . . . . . . . . . . . .
6.1.1. Valores y Vectores Propios . . . . . . . . . . . .
6.1.2. Matrices Definidas Positivas y Negativas . . .6.1.3. Criterio de 2◦ orden para puntos extremos . .
6.1.4. Punto Silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.5. Punto Degenerado . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Optimización con Restricciones . . . . . . . . . . . . .
6.2.1. Problema de Maximización-Minimización . .
6.2.2. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . .
6.2.3. Teorema de Lagrange con varias restricciones

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