Apuntes Geometria

Bolas abiertas
Sea d una m´trica y x0 un punto en Rn e ¯ (1) La bola abierta con centro en x0 y radio r > 0, es el conjunto: ¯ B(¯0 , r) = {¯ ∈ Rn | x − x0 < r} x x ¯ ¯

Conjuntos Abiertos
Definici´n.Un conjunto V ⊂ Rn se dice que es abierto si para cada x ∈ V existe una bola abierta o ¯ B(¯, r) contenida en V . Es decir si para cada x ∈ V existe r > 0 tal que B(¯, r) ⊂ V . x ¯ x Ejemplo:Mostraremos que una bola abierta es un conjunto abierto.

Demostraci´n. Sea x0 ∈ Rn y sea r > 0. Vamos a ver que B(x0 , r) es un conjunto abierto. Sea o x ∈ B(x0 , r) proponemos R = r − x−x0 < r, por lotanto R > 0 sea y ∈ B(x, R) se tiene entonces que y − x < R por lo tanto y − x0 = y − x + x − x0 ≤ y − x + x − x0 ≤ R + x − x0 = r por lo tanto y ∈ B(x0 , r) Ejemplo: El espacio Rn es un conjunto abierto,pues dado cualquier x ∈ Rn , toda bola abierta B(¯, r) ¯ x esta contenida en Rn . Ejemplo: Mostraremos que el ∅ es abierto. Demostraci´n. Suponemos que el ∅ no es abierto ∴ ∃ x ∈ ∅ para el cual no esposible hallar una o bola abierta B(¯, r) contenida en ∅. Pero esto no es posible ya que el ∅ no tiene elementos. x Entonces suponer que el ∅ no es abierto ! ∴ ∅ es abierto. Ejemplo: Mostraremos queel semiplano superior V = {(x, y) ∈ R2 |y > 0} es abierto respecto de la norma 1.

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Demostraci´n. Sea v0 = (x0 , y0 ) ∈ V se tiene entonces que y0 > 0. Elegimos r = y0 consideremos o la bolaabierta B1 (v0 , y0 ) sea v = (x, y) ∈ B1 (v0 , y0 ) se tiene entonces que v − v0 < y0 es decir |x − x0 | + |y − y0 | < y0 y queremos ver que y > 0 procederemos por contradicci´n o Primero supondremos quey=0 se tiene entonces que |x − x0 | + |y − y0 | = |x − x0 | + |y0 | < y0 es una contradicci´n o Ahora procederemos a suponer que y < 0 |x − x0 | + |y − y0 | = |x − x0 | + (−y) + y0 < y0 es tambi´n unacontradicci´n. Por lo tanto y > 0 e o Definici´n: Sea A un subconjunto de Rn o (1) Un elemento a ∈ A se dice que es un punto interior de A, si existe una bola abierta con centro ¯ en a contenida en A...