apuntes importantes sobre funcioness

Cálculo 1

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FUNCIÓN

Dados dos conjuntos A y B, un función f de A en B es una regla que hace corresponder a
cada elemento de A un único elemento de B. Al conjunto A le llamamos “dominio” y al conjunto B
“codominio”.
f
DEFINICIÓN:

A

B

Si f es una función de A en B escribiremos f : A  B , junto con la regla de correspondencia que se
expresa mediante una relación y  f (x) entredos variables x e y ; la variable x toma valores del
dominio y su correspondiente valor y pertenece al codominio. La variable x se denomina variable
independiente e y variable dependiente.
El conjunto de todos los elementos de B relacionados con algún elemento de A recibe el nombre de rango,
recorrido o conjunto imagen y a cada elemento del rango le llamamos imagen de algún elemento de A.
Entérminos de las variables x e y , podemos afirmar que el dominio de una función es el conjunto de
todos los valores que puede tomar la variable independiente “x”, mientras que el rango es el conjunto de
todos los valores que toma la variable dependiente “y”. Simbolizamos el dominio de f por D( f ) y el
rango por R( f ) . Dada una función f : A  B , el rango se suele simbolizar también por f(A) .
En este curso analizaremos las funciones reales de variables reales, esto es, funciones donde tanto el
dominio como el codominio son subconjuntos de R. Generalmente cuando se define una función se hace
solo a través de la regla de correspondencia y  f (x) , entendiéndose el dominio como el conjunto de
todos los valores que puede asumir la variable independiente x, en este caso se hablade un dominio
implícito. En caso contrario cuando se especifica un conjunto de valores que tomará x, se tiene un dominio
explícito.
dos funciones f ( x) y g ( x) son iguales sí y sólo si:
a) Dominio de f es igual al dominio de g.
b) x  D( f ) y D( g )  f ( x)  g ( x)

FUNCIONES IGUALES:

x2  4
no son iguales, porque D( f )  R y D( g )  R   2  por lo
x2
tanto D( f )  D( g ) ,entonces f ( x) y g ( x) no son iguales.
Ejemplo:

f ( x)  x  2 y g ( x) 

Una forma práctica de determinar si una ecuación dada es o no una
función es representarla gráficamente y trazar sucesivamente rectas paralelas al eje de ordenadas. Si cada
una de esas rectas cortase a la curva en un único punto podemos asegurar que la gráfica representada es
una función ya que para cada valorde “x” existe un único valor de “y”.
Si en cambio algunas o todas las rectas cortasen a la curva en dos o más puntos, entonces la gráfica no
representa una función.
DETERMINACIÓN DE FUNCIÓN:

Ejemplo:

x 2  y 2  4 (Circunferencia)

y

x

No cumple con la definición de función, porque por ejemplo para el valor x = 1 hay dos valores para y.
Profesor: Ms.C José G. Velázquez F.Cálculo 1

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Pero si despejamos y tenemos:

y2  4  x2

f ( x)  4  x 2

y   4  x2

g ( x)   4  x 2

donde f ( x)  4  x 2 y g ( x)   4  x 2 son dos funciones, cuyas gráficas tenemos a continuación:
y

y

f(x)
x

x
g(x)

Una relación entre x e y, como x 2  y 2  4 , donde la variable dependiente no está despejada con respecto
a la variable independiente, recibeel nombre de función implícita. Una función expresada por una relación
y  f (x) donde y está despejada, se denomina función explícita.
Ejercicio1: Determinar gráficamente si las siguientes ecuaciones representan o no una función
a) 3x 3  y  0
b)  4 x  2 y 2  0
OPERACIONES CON FUNCIONES
Definiciones: Si f y g son dos funciones con dominios D  f  y D  g  respectivamente, entonces:
a)La suma f  g es la función con dominio D  f   D  g  definida por:
b)
c)

 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
La diferencia f  g es la función con dominio D  f   D  g  definida por:
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)
El producto f  g es la función con dominio D  f   D  g  definida por:
 f  g  ( x)  f ( x)  g ( x)

f
es la función definida por:
g
f 
f ( x)
con...