APUNTES INGENIERIA

Contenido

1

Introducci´n
o

2

Ecuaciones escalares no lineales
2.1 En Scilab
2.2 M´todos iterativos
e

Computaci´n en Engenieria de Procesos
o

2.2.1
2.2.2
2.2.3
2.2.4

4. Ecuaciones no lineales

El
El
El
El

m´todo
e
m´todo
e
m´todo
e
m´todo
e

del punto fijo
de bisecci´n
o
de Newton-Raphson
de la secant

2.3 Seguimiento del error y medida pr´cticadel orden
a
2.4 Aplicaci´n: c´lculo del balance de energ´ mec´nica
o
a
ıa
a
3

Computaci´n en Engenieria de Procesos
o

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Sistemas de ecuaciones no lineales

4

Enero, 30 de 2013

Aplicaci´n: reactor exot´rmico CSTR
o
e

Computaci´n en Engenieria de Procesos
o

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1. Introduction

Considere la siguiente ecuaci´n nolineal simple
o
f (x) = 0
donde lavariable real x pertenece a un intervalo [a, b]. Este tipo de ecuaciones se
plantean:

1. Introducci´n
o

en muchas aplicaciones de la ingenier´ qu´
ıa ımica,
a la hora de buscar la soluci´n en estado estacionario de un modelo din´mico
o
a
que describe un proceso qu´
ımico,
al encontrar el m´
ınimo o el m´ximo de una funci´n en la que f (x) representa la
a
o
primera derivada dela funci´n,
o
...

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o

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o

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1. Introduction

1. Introducci´n
o

Ejemplo: Vaporizador Flash
El balance total de materia:

Una mezcla de hidrocarburos que contiene 25% en moles de n-butano, 45% en moles
de n-pentano y 30% en moles de hexano se separan en un proceso de vaporizaci´n
oflash simple

F = V +L

V , yi

El balance de cada componente:
F = 100 moles/lb

VaporizadorFlash

zi

Componente
n-butano
n-pentano
n-hexano

F, zi
0.25
0.45
0.30

Ki
2.13
0.10
0.30

xi
0.129
0.451
0.456

yi
0.275
0.457
0.268

zi F = yi V + xi L
Apartir de la relaci´n del equilibrio:
o
xi = zi / 1 +

L, xi

El proceso funciona a 270◦ F y 10 atm. El vapory la fracci´n molar del l´
o
ıquido para
cada componente de los flujos se encuentran en equilibrio

V
(Ki − 1) ,
F

De la ecuaci´n de Rachford y Rice,
o
f

Ki = yi /xi
donde xi e yi son la fracci´n molar del componente i en el l´
o
ıquido y en el vapor,
respectivamente.

V
F

3

=
i=1

yi = Ki zi / 1 +
i

yi −

i

V
(Ki − 1)
F

xi = 0, tendremos

zi (Ki −1)
=0
(Ki − 1)(V /F ) + 1

Es una ecuaci´n nolineal de tercer grado con la incognita
o

V
F

.

El flujo del vapor y productos l´
ıquidos?
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o

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o

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1. Introducci´n
o
Nuestros objetivos son:
1

Escribir c´digos en Scilab para poder visualizar cualquier funci´n de una
o
o
variable2

Determinar si un intervalo contiene al menos una ra´
ız

3

Definir el algoritmo y dar la condici´n de convergencia de los m´todos:
o
e

2. Ecuaciones no lineales

La bisecci´n
o
El punto fijo
Newton-Raphson
4

Definir y implementar el m´todo de Newton-Raphson en varias
e
dimensiones

5

Calcular te´ricamente y medir num´ricamente el orden de convergencia
o
e
deun m´todo iterativo
e

6

Reconocer en los scripts de Scilab proporcionados las diferentes etapas de
los m´todos estudiados
e

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o

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o

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2. Ecuaciones no lineales

2. Ecuaciones no lineales

Lineales:

Separar las ra´
ıces ri : encontrar un intervalo (ai , ai+1 ) donde las ra´ es
ızunica
´

ecuaciones: ax + b = 0; r = −b/a
sistemas: Ax + b = 0; x = −A−1 b

Muchos m´todos s´lo funcionan en un intervalo donde la ra´ es unica
e
o
ız
´
(separada)

Nolineales:
N´mericamente
u
√
Ej.: x + x sin(2πx) = 0; x ≥ 0

Analiticamente
Ej.: ax 2 + bx + c = 0

Ejemplo1.sce
clear all
clf()

2

∆ = b − 4ac

x = 0:0.01:10;
f = x.^0.5+x.*sin(2*pi*x);
g = 0;...