Apuntes lògica matemàtica

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FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES CUAUTITLÁN
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
SECCIÓN DE SISTEMAS MATEMÁTICOS DISCRETOS

CURSO DE MATEMÁTICAS II. “LÓGICA MATEMÁTICA”

I : SIMBOLIZACIÓN DE PROPOSICIONES

1. PROPOSICIONES.

LÓGICA. Dícese de lo que es natural, en Lógica Matemáticas, es la rama de la lógica pura o formal que se expresa mediante símbolos ycálculos matemáticos las formas del pensar.

Con el estudio de la lógica se persigue llegar a ser preciso y cuidadoso, la lógica tiene un lenguaje exacto, y es necesario redactar un conjunto de reglas que sean perfectamente claras definidas y que estén libres de las verdades que pueden hallarse en nuestro lenguaje corriente. En primer instancia, se consideran y simbolizan en dos clases deproposiciones atómicas y otras proposiciones moleculares.
En lógica, atómicas son las proposiciones de forma más simple ( o más básica ), si su juntan una o varias proposiciones atómicas con un término de enlace, se tiene una proposición molecular. Una proposición atómica es una proposición completa sin términos de enlace por tanto se utilizan términos de enlace para formar proposiciones moleculares apartir de proposiciones atómicas. Por ejemplo, hoy es sábado, no hay clase, son atómicas y, hoy es sábado y no hay clase forma una proposición molecular, el término de enlace (( y (( no forma parte de ninguna de las proposiciones atómicas, se ha añadido a las proposiciones atómicas para construir una proposición molecular.

Otros conceptos importantes que debemos considerar es, una proposición lógicaes un enunciado del que se puede decir que es verdadero o falso, pero no las dos cosas a la vez.
❖ 5 + 3 = 8
❖ Benito Juárez nació en Oaxaca
❖ Vacío es subconjunto de cualquier conjunto
Los anteriores enunciados son proposiciones, puesto que cada uno de ellos es verdadero o falso, sin ninguna duda.
Por el contrario, los enunciados:
❖ Abra la puerta
❖ Pinte la pared❖ Estudie la lección
No son proposiciones, ya que no son ni verdaderas ni falsas. En todos los casos lo que se da es una orden. Otros ejemplos.
❖ Margarita es hermosa
❖ Las matemáticas son difíciles
❖ El agua esta fría
Tampoco son proposiciones, porque el ser verdadero o falso depende de los gustos o las circunstancias. Las proposiciones se representan por las letras minúsculas,p, q, r, ..., así, p: 2 es un número entero,
q: 3 x 2 = 2 x 3, r: ...todos los caballos son blancos.
A la veracidad o falsedad de una proposición lógica se le denomina “El valor de verdad de la proposición”. Si q: A ( A ( B, decimos que el valor de verdad de la proposición q es verdadero.
Denotaremos verdadero con la letra V y falso con la letra F.
Una proposición como p: x + 5 = 8 se denominauna proposición abierta, ya que su valor de verdad depende del valor que se le asigne a la variable x.
En las proposiciones abiertas el valor de verdad, denominado conjunto de verdad, es el conjunto de todos los valores de la variable que hacen que la proposición se verdadera.
Ejem. 1. Calcular el conjunto verdad de la proposición p: X2 + 3x +2 = 0, desarrollando, X1 = 1 y X2 = 2, sonsoluciones de la ecuación dada, luego el conjunto de verdad de p es (1, 2(.

1.2 TÉRMINOS DE ENLACE Y SUS SIMBOLOS.

Las palabras de enlace, por cortas que sean, no deben subestimarse, pues son de gran importancia. Los términos de enlace más usados son las palabras (( y ((, (( o ((, (( no ((, y (( si..., entonces... ((, recordemos que al añadir un término de enlace a una o dos proposiciones atómicas seha formado una proposición molecular.
Por ejemplo, La luna no está hecha de queso verde,(una proposición atómica).
El viento arrastrará las nubes o lloverá con seguridad, (dos proposiciones atómicas).
Si estamos en Diciembre entonces llegará pronto Navidad, ( dos proposiciones atómicas).
El terreno es muy rico y hay suficiente...