Apuntes Limites

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC.

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Límites de funciones

En este capítulo se definirá formalmente la noción de límite para una función de variable real y con valores en R. O sea, una función f : I → R, x 7→ f (x), donde I es un intervalo abierto de la recta real. Se escoje un punto a ∈ I, donde incluso la f puede no estar definida y se analiza el comportamiento de lasimágenes f (x), para puntos x próximos de a, pero diferentes de a. Esto conducirá al concepto de “límite de f (x) cuando x tiende al punto a”. En general, en la recta real R podemos considerar la noción de distancia entre dos puntos x y a dada por la fórmula d (x, a) = |x − a| Con respecto a ésta, los dos puntos estarán (o se considerarán) próximos cuando d (x, a) = |x − a| < δ donde δ > 0 es unnúmero pequeño. Por ejemplo, la condición 0 < |x − a| < 10−5 significa que x 6= a y la distancia entre ellos es menor que 0, 00001. O sea, son bastante parecidos o próximos (aunque distintos). Considere ahora la función f definida por x2 − 1 f (x) = x−1 en su dominio R − {1}. Aunque no es posible calcular f (1), sí podemos evaluar f en puntos x tan cercanos de 1 como queramos. Piense por ejemplo enf (0, 9) , f (0, 99) f (0, 999) , ... ., f (0, 9999999999). ¿Qué comportamiento podemos detectar en estos valores? El siguiente cálculo muestra una tabla de valores para f evaluada en puntos próximos de 1. Obs.- Las cuatro siguientes líneas son para construir la tabla que viene a continuación, no es necesario que las considere o trate de entenderlas. Sólo mire la tabla en la próxima página: laprimera columna es un valor de x y en la segunda aparece su imagen f (x) . δ = 0.00002 n = 25 δ g (i) = 1 − δ + i ∗ n h (i, j) = (2 − j) g (i) + (j − 1) f (g (i))

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 

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 . 999 980 8 1. 999 980 8  . 999 981 6 1. 999 981 6     . 999 982 4 1. 999 982 4     . 999 983 2 1. 999 983 2     . 999 984 1. 999 984     . 999 984 8 1. 999984 8     . 999 985 6 1. 999 985 6     . 999 986 4 1. 999 986 4     . 999 987 2 1. 999 987 2     . 999 988 1. 999 988     . 999 988 8 1. 999 988 8     . 999 989 6 1. 999 989 6     . 999 990 4 1. 999 990 4     . 999 991 2 1. 999 991 2     . 999 992 1. 999 992     . 999 992 8 1. 999 992 8     . 999 993 6 1. 999 993 6     . 999 994 4 1. 999 994 4    . 999 995 2 1. 999 995 2     . 999 996 1. 999 996     . 999 996 8 1. 999 996 8     . 999 997 6 1. 999 997 6     . 999 998 4 1. 999 998 4  . 999 999 2 1. 999 999 2 Se ve que: “en la medida que x se aproxima a 1, su imagen f (x) se acerca al valor L = 2”. Este característica de la f , cerca de 1, se formaliza en la siguiente definición.

1.1

Definición de límite
x→aDefinición 1 Sea f definida en un intervalo abierto I, con la posible excepción del punto a ∈ I y sea L un número real. Se dice que lim f (x) = L si y sólo si Dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que ∀x : 0 < |x − a| < δ ⇒ |f (x) − L| < ε Considerando que 0 < |x − a| < δ ⇔ x ∈ ]a − δ, a + δ[ ∧ x 6= a |f (x) − L| < ε ⇔ f (x) ∈ ]L − ε, L + ε[

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. la definiciónpuede reescribirse: Dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que ∀x : x ∈ ]a − δ, a + δ[ ∧ x 6= a ⇒ f (x) ∈ ]L − ε, L + ε[ lo que debe entenderse en el sentido que:

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si x es próximo de a, entonces f (x) es próximo de L.
La interpretación geométrica de este concepto aparece en el siguiente gráfico para la función f , cerca del punto a. La curva y = f (x) se acerca al punto (a, L) ,tanto desde la derechacomo de la izquierda.
L +ε

D ado ε > 0

L
L-ε

y = f(x)

1 1
a-δ

a

a +δ

E x is t e δ> 0

Ejemplo 2 Use la definición de límite para mostrar que: a) lim [2x + 3] = 5 x→1 £ ¤ b) lim x2 = 4 x→2 √ c) lim x = 3
x→9

a) Sea ε > 0. Se debe encontrar δ > 0 tal que ∀x : 0 < |x − 1| < δ ⇒ |(2x + 3) − 5| < ε

¿Cómo se encuentra?
Basta considerar que |(2x + 3) − 5| = |2x − 2| =...