Apuntes Lógica Proposicional

LÓGICA PROPOSICIONAL

1

Lenguaje simbólico

Elementos de lógica proposicional
La lógica es la rama del conocimiento que trata los
métodos de razonamiento mediante reglas y técnicas
con el fin de determinar si un argumento dado es
válido.
Como introducción a este curso, nos ocuparemos de la lógica
usada en matemática que, además de servirnos de base al
razonamiento matemático, contribuirá amejorar nuestra
expresión escrita y oral. Los elementos básicos con que trabaja
la lógica son las proposiciones.
Una proposición es una oración gramatical (enunciado), con
sentido en un lenguaje, de la cual se puede afirmar que es
verdadera o falsa, pero no ambas a la vez.

2

Por ejemplo, son proposiciones,
• Pablo Neruda es chileno.
• El IPC del mes de junio recién pasado fue de 0,8.
• El cuadradode cualquier número real es positivo.
No son proposiciones:
• Préstame el lápiz.
• Hola como te va.
• 3x - 9
Se acostumbra denotar a las proposiciones con las letras p, q, r.
Si p es una proposición verdadera, se dice que p tiene el valor de
verdad V; si p es falsa, su valor de verdad es F.
Observe que la frase correspondiente a la
negación de una proposición p, también es una
proposición, que sedenota Np. La negación
Np será verdadera cuando p sea falsa.
3

En el lenguaje común y, en particular, en el lenguaje matemático
es habitual encontrar expresiones como las siguientes:
• Los ingenieros comerciales estudian economía y finanzas.
• Se puede invertir en depósitos a plazo o en fondos mutuos.
• Si el Senado lo aprueba, se tendrá ley de divorcio
• Si x es un número positivo, entonceslog(x) existe.
Los enunciados anteriores están conformados por dos
proposiciones unidas por “y” o por “o”, o condicionadas por “si …”
Los conectivos son símbolos que conectan dos
proposiciones dando origen a las llamadas
proposiciones compuestas.
Los conectivos más usados se simbolizan:

∧ ∨ ⇒ ⇔
y los describimos en la siguiente tabla:

4

Nombre
Conjunción

Símbolo
∧

Notación
p∧q

Se leeDisyunción

∨

p∨ q

p o q

Implicación

⇒

p⇒q

p implica q
Si
p entonces q

Equivalencia

⇔

p⇔q

p equivalente a q p
si y sólo si q

p y q

La conjunción p ∧ q es verdadera cuando ambas proposiciones
p y q lo son. En cambio, basta que una de las proposiciones p o
q sea verdadera para que la disyunción p ∨ q también lo sea.
En la proposición p ⇒ q , p se llama antecedente y q se llama
consecuente. Laproposición p ⇒ q es falsa sólo cuando el
antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso. La
equivalencia p ⇔ q es verdadera cuando ambas proposiciones p
y q tengan el mismo valor de verdad.

5

Ejercicio: Considere las proposiciones

p: 6 es un número primo
q: 2 + 3 = 5 ⇒ 4 + 6 = 10
¿Cuál es el valor de verdad de ( p ∧ Nq) ⇒ q ?
Ejercicio: Si p es una proposición falsa, q es verdadera y res falsa, determine el valor de verdad de la proposición
compuesta ( p ⇒ Nr ) ∧ (q ⇔ Np)
Ejercicio: Muestre que las proposiciones

p ⇒yq
Np ∨ q
tienen los mismos valores de verdad. Concluya que la
proposición ( p ⇒ q ) ⇔ ( Np ∨ q ) es siempre verdadera.

6

Una proposición que es siempre verdadera, sin importar los
valores de verdad de las proposiciones que la forman se llama
tautología. Porejemplo, ( p ⇒ q ) ⇔ ( Np ∨ q ) es una tautología.
En cambio, una proposición que es siempre falsa,
independientemente de los valores de verdad de las
proposiciones que la componen se llama contradicción o
absurdo. Por ejemplo, p ∧ Np es un absurdo.
Destacamos las siguientes tautologías:

N ( Np ) ⇔ p ,

N (p ⇒ q ) ⇔ (p ∧ Nq )

(p ⇔ q ) ⇔ [(p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ p )]
(p ⇒ q ) ⇔ ( Nq ⇒ Np )
[p ⇒ (q ∧ r )] ⇔[(p ⇒ q ) ∧ (p ⇒ r )]
[(p ∨ q ) ⇒ r ] ⇔ [(p ⇒ r ) ∧ (q ⇒ r )]
7

Cuantificadores
Un término es una expresión con la que se nombra o designa
un objeto, por ejemplo, 5, A U B, 3x + 7y. Cuando las letras se
utilizan como términos pero sin que representen objetos
particulares, se denominan variables.
Si x es una variable y p es una proposición que depende de la
variable x, se escribe ∀x ∈ A , p( x)...