Apuntes Métodos Matemáticos

Manual de

Métodos Matemáticos I

Federico Finkel Morgenstern y Artemio González López
Madrid, febrero de 2013

Edita: Universidad Complutense de Madrid
Área de Ciencias Exactas y de la Naturaleza
Departamento de Física Teórica II
Facultad de Ciencias Físicas
Avenida Complutense s/n
Ciudad Universitaria
28040 Madrid
Universidad Complutense de Madrid
Autores:
Federico FinkelMorgenstern
Artemio González López
© Los autores
Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra –incluido el diseño de portada–, sea cual fuere el medio,
electrónico o mecánico, sin el consentimiento del editor.
ISBN-10: 84-695-7205-9
ISBN-13: 978-84-695-7205-4
Número de registro: 201317029

Índice general
1

2

3

Funciones analíticas
1.1 Propiedades algebraicas de losnúmeros complejos
1.1.1 Raíces cuadradas (método algebraico) . . .
1.1.2 Módulo y conjugación . . . . . . . . . . .
1.1.3 Argumento . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Fórmula de de Moivre . . . . . . . . . . .
1.1.5 Raíces n-ésimas . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Funciones elementales . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Función exponencial . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Funcionestrigonométricas e hiperbólicas .
1.2.3 Logaritmos . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Ecuaciones de Cauchy–Riemann . . . . . . . . . .
1.3.1 Conceptos topológicos básicos . . . . . . .
1.3.2 Límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.4 Derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.5Ecuaciones de Cauchy–Riemann . . . . . .
1.3.6 Derivabilidad de las funciones elementales
1.3.7 Funciones armónicas . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
..
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
23
4
6
6
7
7
8
10
11
12
12
12
13
13
14
16
18

El teorema de Cauchy
2.1 Integración sobre arcos R. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Propiedades de f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Integral respecto de la longitud de arco . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Teorema fundamental del Cálculo. Independencia del camino
2.2 Teorema de Cauchy . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Teorema de Cauchy–Goursat . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Homotopía. Teorema de Cauchy. Teorema de la deformación .
2.3 Fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Índice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Fórmula integral de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.3.3 Fórmula integral de Cauchy para las derivadas . . . . . . . .
2.3.4 Teorema de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
..
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

21
21
22
23
24
25
25
27
30
30
31
34
35

.
.
.
.
.

37
37
37
38
40
43

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
....