Apuntes matematicas

C´lculo diferencial en Rn a
C´sar Asensio, Luis M. Esteban y Antonio R. Laliena e
Dpto. Matem´tica Aplicada a

E.U.P.L.A.

Asensio, Esteban & Laliena (EUPLA)

C´lculo diferencial en Rn a

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´ Indice

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Derivadas direccionales y parciales La regla de la cadena Diferenciabilidad y el plano tangente Extremos Extremos condicionados

2

3

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Derivadas

Derivada direccional
Sea f : D ⊂ R2 → R, D entorno de x0 ∈ R2 con x0 = (x0 , y0 ), r = (rx , ry ) ∈ R2 , r = 1 ∂f ∂r Notas:
df (x0 +λr) dλ λ=0

x0

= l´ ım

f (x0 + λr) − f (x0 ) . λ→0 λ

=

∂f ∂r x . 0

La derivada direccional de una funci´n vectorial es el vector de o derivadas direccionales de suscomponentes. La definici´n es similar para m´s dimensiones. o a Ejercicio: escribir la definici´n de derivada direccional en o coordenadas.

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Derivadas

La derivada direccional gr´ficamente a

f 1 2 y 3

-3

-2

-1

x

0

1

2

3 -3

-2

-1

0

¿Cu´l es la recta tangente a f en x0 seg´n la direcci´n der?. a u o

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Derivadas

Derivadas parciales
∂f ∂x ∂f ∂y
x0

= l´ ım = l´ ım

f x0 + λ(1, 0) − f (x0 ) , λ→0 λ
λ→0

x0

f x0 + λ(0, 1) − f (x0 ) . λ

Notas: Las derivadas parciales son derivadas direccionales seg´n las u direcciones de los ejes. Las derivadas parciales de una funci´n vectorial son elvector de o derivadas parciales de sus componentes. Las definiciones son similares para m´s dimensiones. a Ejercicio: escribir las definiciones de derivadas parciales en coordenadas. C´lculo pr´ctico de derivadas parciales: reglas de derivaci´n a a o considerando la otra variable como constante.
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Derivadas

Las derivadasparciales gr´ficamente (1) a

f 1 2 y 3

-3

-2

-1

x

0

1

2

3 -3

-2

-1

0

¿Cu´l es la recta tangente a f en x0 seg´n la direcci´n del eje x?. a u o

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Derivadas

Las derivadas parciales gr´ficamente (2) a

f 1 2 y 3

-3

-2

-1

x

0

1

2

3 -3

-2

-1

0

¿Cu´les la recta tangente a f en x0 seg´n la direcci´n del eje y?. a u o

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Derivadas

Derivadas parciales de orden superior
Si ∂f x0 o ∂f x0 existen en todo punto del dominio, definen las ∂x ∂y funciones derivadas parciales: ∂f , ∂x ∂f . ∂y

Si ´stas tienen derivadas parciales obtenemos las derivadas parciales esegundas ∂2f ∂x2 ∂2f ∂y 2 = ∂ ∂f ∂x ∂x ∂ ∂f ∂y ∂y , ∂2f ∂y∂x ∂2f ∂x∂y = ∂ ∂f ∂y ∂x ∂ ∂f ∂x ∂y ,

x0

x0

x0

x0

x0

=

x0

,

x0

=

x0

.

y as´ sucesivamente, funciones derivadas parciales segundas, derivadas ı parciales terceras,. . .
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Derivadas

Teorema de Schwartz de las derivadas cruzadasTeorema
Si f tiene derivadas segundas cruzadas en un punto x0 y son continuas en un entorno de dicho punto, entonces ∂2f ∂y∂x = ∂2f ∂x∂y .

x0

x0

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Regla cadena

La regla de la cadena para un par´metro a
Sea z = f (x, y) y x = x(t), . Tenemos definida z como funci´n de t. o y = y(t) ∂z dx ∂z dy dz = + . dt ∂xdt ∂y dt Ejemplo: las dimensiones de un rect´ngulo (base y altura) var´ a a ıan √ velocidades t3 + 2t y t respectivamente. Cuando t = 4 s, la base es 3 m y la altura 5 m. Calcular la velocidad de variaci´n del ´rea en o a t = 4 s. Puesto que S = bh, √ ∂S db ∂S dh dS = + = h(t3 + 2t) + b t, dt ∂b dt ∂h dt en t = 4 s obtenemos
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dS dt t=4

= 78 m2 /s
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