Apuntes Mates Geometría 1 Bach

Matemáticas 2ª evaluación
Trigonometría
Ecuaciones trigonométricas
Una ecuación trigonométrica es aquella en la que la incógnita es una o varias razones trigonométricas. Para resolverlas se expresan en función de un solo ángulo y una razón trigonométrica o se factorizan.
Teorema de los senos
En un triángulo los lados son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos.C




b a




A B





Demostración:
Trazamos la altura del vértice C y obtenemos dos triángulos rectángulos.h











Trazamos la altura del vértice A, y volvemos a obtener dos triángulos rectángulos.





h’

h












Por lo tanto:



Interpretación geométrica del teorema de los senos:
Si en el triángulo ABC trazamos su circunferenciacircunscrita de radio R, trazamos el diámetro AB’ y lo juntamos con C, obteniendo así el triángulo AB’C.

Los ángulos B y B’ son iguales por ser inscritos y abarcar el mismo arco. El triángulo AB’C es rectángulo porque el ángulo C es inscrito y abarca una semicircunferencia.
Aplicamos el teorema de los senos al triángulo AB’C.C


a
b
B

Ac

2R
B’La constante de proporcionalidad entre un lado y el seno de su ángulo opuesto vale el diámetro de la circunferencia circunscrita.

Teorema del coseno
En un triángulo, el cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de dichos lados por el coseno del ángulo comprendido entre ellos.C


b a



AB
c









Demostración
Trazamos la altura del vértice C y obtenemos los triángulos rectángulos CAD y CDB:



Cb a



A B
D...