apuntes mecanica para ingenieria

Universidad Mayor
Facultad de Ingenier´
ıa

´
Mecanica para Ingenier´ I
ıa

´
Adolfo Sepulveda San Mart´
ın

Revisado por:
Valeria Boccardo Salvo

2014

Chapter 1

Vectores
1.1

Vectores

En matem´tica, un vector es una herramienta geom´trica utilizada para
a
e
representar una magnitud f´
ısica de la cual depende unicamente un m´dulo
´
o
y una direcci´n para quedarcompletamente definido. En f´
o
ısica adem´s, se
a
necesita de una unidad de medida como N.
Los vectores se pueden representar geom´tricamente como segmentos de
e
recta dirigidos o flechas en planos R2 o R3 . Es decir, bidimensional o tridimensional.

1.1.1

Magnitudes escalares:

Son todas aquellas magnitudes f´
ısicas, fundamentales o derivadas, que
quedan completamente definidascon n´meros y una unidad de medida.
u
Ejemplo:
Masa, tiempo, superficie, temperatura, entre otras.

1.1.2

Magnitudes vectoriales:

Son todas aquellas magnitudes f´
ısicas, fundamentales o derivadas, que
para quedar completamente definidas necesitan de una magnitud, de una
direcci´n y sentido, como tambi´n de una unidad de medida.
o
e
Ejemplo:
Desplazamiento, velocidad, aceleraci´n,fuerza, momentum, entre otras.
o

2

CHAPTER 1. VECTORES

1.1.3

Caracter´
ısticas de los vectores:

1. Origen: Punto donde nace el vector.
2. Magnitud o M´dulo: Corresponde al tama˜o del vector, y se denota
o
n
|v|.
3. Direcci´n: L´
o
ınea recta en la cual el vector est´ contenido (L´
a
ınea de
acci´n).
o
4. Sentido: Es el indicado por la punta de la flecha.

|v|
θ
oFigure 1.1: Representaci´n gr´fica de un vector.
o
a

1.1.4

Vectores libres:

Se llama vector libre a aquel que no pasa por un punto determinado en el
espacio.

1.1.5

Vectores fijos:

Se llama vector fijo a aquel que pasa por un punto determinado en el espacio.

1.2

Suma de vectores

Dentro del estudio de vectores es importante conocer las operaciones
matem´ticas b´sicas comolo son la adici´n y sustracci´n de vectores. A
a
a
o
o
continuaci´n se detallan los diferentes m´todos que se utilizan en la reso
e
oluci´n de problemas.
o

1.2.1

M´todo del pol´
e
ıgono:

Consiste en dibujar el primer vector a sumar, luego en el extremo de ´ste
e
se dibuja el origen del segundo vector a sumar, y as´ sucesivamente hasta
ı
dibujar el ultimo vector a sumar. Laresultante se obtiene trazando un
´

3

CHAPTER 1. VECTORES

vector que va desde el origen del primer vector, hasta el extremo del ultimo.
´
Ejemplo 1.1: Dados los vectores: a,b y c:
b

a

c

Trazar las siguientes resultantes:
R1 = a + b + c
R2 = b + c + a
Soluci´n:
o
R1 = a + b + c

b

a

c

R1

R2 = b + c + a

b

R2
c

a

Al observar el ejemplo anterior,podemos concluir que la suma de vectores
cumple ciertas propiedades.

4

CHAPTER 1. VECTORES

1.2.2

Propiedades para la suma de vectores:

1. Asociativa: ∀ a, b y c vectores, se cumple: (a + b) + c = a + (b + c).
2. Elemento neutro: ∀ a, ∃! 0 / a + 0 = 0 + a = a.
3. Conmutatividad: ∀ a, b vectores, se cumple: a + b = b + a.
4. Elemento opuesto: ∀ a, ∃! (−a) / a + (−a) = (−a) + a =0. Donde
(−a) es el vector opuesto del vector a, teniendo igual magnitud y
direcci´n pero sentido contrario.
o

1.2.3

M´todo del paralelogramo:
e

Se utiliza para sumar vectores, y consiste en dibujar ambos vectores con un
origen en com´n. Luego en cada uno de los extremos se dibujan las paralelas
u
a dichos vectores. La resultante se obtiene trazando un vector que va desde
elorigen com´n hasta el punto donde se intersectan las paralelas.
u
Si:

F2
F1

Entonces: R = F1 + F2 , es:

R

F2

F1

1.2.4

Resta de vectores:

Sean a y b dos vectores. La resta a − b queda definida por: a − b = a + (−b).
Dado los vectores:

5

CHAPTER 1. VECTORES

F2
F1

(−F2)

Entonces: R = F1 − F2 = F1 + (−F2 ), es:

F1

R

(−F2)

Nota: Se obtiene la misma...