apuntes metodosnumericos

Universidad Católica del Norte
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas

Análisis Numérico
Profesor Dr. Juan C. Egaña

1

Errores de Redondeo y Aritmética del Computador

La aritmética ejecutada por un computador es diferente a la aritmética que
usamos en los cursos de Álgebra o Cálculo. Por ejemplo,
(i) 2 + 2 = 4
(2i) 42 = 16
p 2
(3i)
3 =3
En aritmética computacionalestándar tendremos los primeros dos resultados (i) y (2i), mientras que para el ejemplo (3i) no ocurre lo mismo.
p
En la aritmética tradicional,
3 es un único número positivo que multiplicado por si mismo produce el número entero 3. En la aritmética computacional, cada número tiene sólo un número …nito y …jo de dígitos, el
computador sólo entregará una representación aproximada, cuyo cuadradono será precisamente 3, aunque un número bastante cercano a 3.
El error de redondeo ocurre cuando el computador es usado para
realizar cálculos con números reales. Este error se origina debido a que
computadora común usa un subconjunto relativamente pequeño del sistema
de los números reales para representar todos los números reales. Este subconjunto contiene sólo números racionales (tantopositivos como negativos)
y almacena una parte fraccionada, junto con una parte exponencial.
En 1985, el Institute for Electrical and Electronic Engineers, IEEE, publico y especi…có los formatos para las precisiones simple, doble, y extendida;
en general los fabricantes de PC utilizan estos estándares para el hardware
de punto ‡
otante (número de máquina). Por ejemplo, el coprocesador
1numérico de las PC utiliza una representación de 64 bits (dígitos binarios)
para un número real, llamado real largo. El primer bit es un indicador de
signo, denotado como s. Le sigue un exponente de 11 bits, c, denominado
característica y una fracción binaria de 52 bits, f , llamada mantisa. La
base para el exponente es 2.
Como 52 dígitos binarios corresponden a entre 16 y 17 dígitos decimales,podemos suponer que un número representado en este sistema tiene al menos
16 cifras decimales de precisión. El exponente de 11 dígitos binarios proporciona un intervalo de 0 a 211 1 = 2047: Sin embrago el uso exclusivo de
enteros positivos para el exponente no permitiría una representación adecuada de los números con magnitud pequeña. Para garantizar que estos
números también sean representables,se resta 1023 de la característica, de
modo que el intervalo del exponente es en realidad de -1023 a 1024.
Para ahorrar espacio de almacenamiento y proporcionar una representación
única de cada número de punto ‡
otante, se impone una normalización. El
uso de este sistema proporciona un número de punto ‡
otante de la forma
( 1)s 2c

1023

(1 + f ):

Ejemplo 1 : El número de máquina
0|{z}
(1)

10000000011
|
{z
}
(2)

1011100100010000000000000000000000000000000000000000
|
{z
}
(3)

La parte (1) es un bit con dígito cero, el cual indica que el número es positivo.
Los siguientes 11 bits (2), son equivalentes al número decimal
1 210 + 0 29 +

+ 0 22 + 1 21 + 1 20 = 1024 + 2 + 1 = 1027:

La parte …nal (3) con 52 bits indica que la mantisa es

f =1

1
21

+1

1
2

3

+1

1
2

4

+1

1
2

5

+1

1
2

8

+1

1
2

12

:

En consecuencia, este número de máquina representa con precisión al número
decimal
( 1)s 2c

1023

(1 + f ) = ( 1)0 21027 1023 1 +
= 27:56640625.
2

1
2

+1+
8

1
16

+

1
32

+

1
256

+

1
4096

Sin embargo, el próximo número de máquina menor es
010000000011 1011100100001111111111111111111111111111111111111111;
y el próximo número de máquina mayor es
0 10000000011 10111001000100000000000000000000000000000000000000001:
Esto signi…ca que nuestro número de máquina original debe representar
no sólo 27.56640625, sino también a la mitad de los números reales que están
entre este número y los dos números de máquina más próximos a él. Para
ser...