apuntes probabilidad

PROBABILIDAD

Y

ESTADÍSTICA

Notas de clase

Profesores: A. Leonardo Bañuelos S.
Nayelli Manzanarez Gómez

TEMA III
VARIABLES ALEATORIAS
INTRODUCCIÓN
El objetivo de este tema es conocer y utilizar el concepto de variable aleatoria para
resolver problemas probabilísticos.
¿Qué es la variable aleatoria? En el tema anterior, se describieron los resultados
de un experimento(eventos) en palabras; claramente esto dificultaba el análisis de
algunos problemas. Es mucho más fácil describir y manipular cuando se utilizan
números.
El propósito de la variable aleatoria es "mapear" cada punto de un espacio
muestral en un punto de un eje real, y puesto que la regla de correspondencia para
realizar el mapeo de un conjunto a otro recibe el nombre de función, la variable aleatoriaes entonces una función.

LA VARIABLE ALEATORIA
Los fenómenos que más interesan a los ingenieros son aquellos que pueden ser
identificados por números, los cuales reciben el nombre de eventos numéricos. Por
ejemplo, un médico está interesado en el evento de que diez de diez pacientes se curen
de cierta enfermedad.

real.
Usualmente, se denotan a las variables aleatorias (vv.aa.)utilizando las últimas
letras mayúsculas del alfabeto.
Los valores de la imagen de dicha función, se conocen como valores de la
variable aleatoria (v.a.) y se denotan con la misma letra que la función, pero con
minúsculas.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo 3.1
Considerando las familias que tiene dos hijos, si se desea conocer el sexo de
los hijos entonces el espacio muestral es:Asignar valores de la variable aleatoria.
Resolución
Podrían realizarse varias asignaciones:
Utilizando
para el sexo femenino y

para el masculino.

: 1, 2, 3, 4.
: 0, 1, 2, 3.
: 1, 2, 2, 3.
: 0, 1, 1, 2.
etc.
S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
La definición (en su construcción y significado) de una variable aleatoria (v.a.)
es arbitraria. Una forma adecuada de construir (definir)una v.a. es hacerlo de tal manera
que dicha variable responda a la pregunta de interés.
En el ejemplo anterior, si nos interesa conocer el número de hijos varones en
una familia, la definición más adecuada de la v.a. es la de
que asocia reales de la
siguiente manera:

Fig. 3.1 Variable aleatoria.
;
Definición 3.1
Una variable aleatoria (v.a.) es una función, cuyos valores son númerosreales, definida en un espacio muestral. De una manera simple puede
denotarse por
En otras palabras una variable aleatoria es una función que asigna números
reales a cada posible resultado de un experimento aleatorio; esto es, es una función cuyo
dominio de definición es el espacio muestral de un experimento y cuyo rango es el eje
)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
A.L.B.S. /N.M.G.

;

S))))))))))))))))))))))))))))))))))))Q
Ejemplo 3.2
En el lanzamiento de dos dados se desea calcular la probabilidad de que la
suma de los dados sea par.
a)
Definir el espacio muestral del experimento.
b)
Definir una variable aleatoria adecuada para el problema.
c)
Calcular la probabilidad.

PROBABILIDAD y ESTADÍSTICA

Tema III

Resolución

a)

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unacombinación de los casos anteriores.

Una variable aleatoria discreta toma valores de un conjunto numerable,
mientras que una variable aleatoria continua toma valores de un conjunto continuo.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS
b)

c)

La definición es la siguiente:
Sea la variable aleatoria que representa la suma de los resultados en
el lanzamiento de los dados.
Los posibles valores
de
sonentonces:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
Sea
el evento en el cual la suma de los resultados es par, es
evidente que:

Definición 3.2
Una variable aleatoria se dice discreta si solamente puede tomar valores
de un conjunto numerable de valores.
Una vez definida una variable aleatoria discreta, se debe definir la forma en la
que se asignarán las probabilidades a cada valor que puede...