apuntes_procesos

TEMA 5. PROCESOS ESTOCÁSTICOS
En el estudio de las variables aleatorias realizado hasta ahora se han explorado las características aleatorias del fenómeno pero se ha mantenido una premisa por defecto, que esas
características aleatorias permanecen constantes a través del tiempo. Al incluir en el estudio la presencia de la variable determinística tiempo se está considerando que, de alguna
forma,la variable aleatoria depende del tiempo. En otras palabras, la variable aleatoria
dependerá del fenómeno probabilístico y del tiempo. En consecuencia, cualquier función que
se establezca en términos de la variable aleatoria, como lo son la función de distribución o
la función de densidad, serán también dependientes del tiempo.
Uno de los objetivos de este capítulo es construir un modelo que nospermita explicar la
estructura y preveer la evolución, al menos a corto plazo, de una variable que observamos
a lo largo del tiempo. La variable observada puede ser económica (I.P.C., demanda de un
producto, existencias en un determinado almacén, etc...), física (temperatura de un proceso,
velocidad del viento en una central eólica, concentración en la atmósfera de un contaminante,
etc..) o social(número de nacimientos, votos de un determinado partido, etc..). Supondremos
a lo largo del tema que los datos se obtienen en intervalos regulares de tiempo (horas, días,
años,..) y el objetivo es utilizar la posible ”inercia” en el comportamiento de la serie con el
fin preveer su evolución futura. Así, una serie temporal será una sucesión de valores de una
variable obtenidos de manera secuencialdurante el tiempo.

5.1. Concepto de proceso estocástico.
Definición Un proceso estocástico es una colección o familia de variables aleatorias {Xt ,
con t ∈ T }, ordenadas según el subíndice t que en general se suele identificar con el
tiempo.
Por tanto, para cada instante t tendremos una variable aleatoria distinta representada
por Xt , con lo que un proceso estocástico puede interpretarse comouna sucesión de variables aleatorias cuyas características pueden variar a lo largo del tiempo. Por ejemplo, si
observamos sólo unos pocos valores de t, tendríamos una imagen similar a la de la figura
siguiente:

1

en la que se representa para cada t la función de densidad correspondiente a Xt . Aunque
en la figura se han representado unas funciones de densidad variables, un proceso estocástico notiene por que presentar esas diferencias en la función de densidad a lo largo del
tiempo. Como más adelante se comentará presentan un especial interés aquellos procesos
cuyo comportamiento se mantiene constante a lo largo de t.
A los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria se le denominaran estados,
por lo que se puede tener un espacio de estados discreto y un espacio de estadoscontinuo.
Por otro lado, la variable tiempo puede ser de tipo discreto o de tipo continuo. En el caso del
tiempo discreto se podría tomar como ejemplo que los cambios de estado ocurran cada día,
cada mes, cada año, etc.. En el caso del tiempo continuo, los cambios de estado se podrían
realizar en cualquier instante.
Por tanto, dependiendo de cómo sea el conjunto de subíndices T y el tipo devariable
aleatoria dado por Xt se puede establecer la siguiente clasificación de los procesos estocásticos:
• Si el conjunto T es continuo, por ejemplo R+ , diremos que Xt es un proceso estocástico
de parámetro continuo.
• Si por el contrario T es discreto, por ejemplo N, diremos que nos encontramos frente a
un proceso estocástico de parámetro discreto.
• Si para cada instante t la variable aleatoria Xtes de tipo continuo, diremos que el
proceso estocástico es de estado continuo.
• Si para cada instante t la variable aleatoria Xt es de tipo discreto, diremos que el
proceso estocástico es de estado discreto.

X Discreta

X Continua

t Discreto
Proceso de estado discreto
y tiempo discreto (Cadena)
(Unidades producidas mensualmente
de un producto)

t Continuo
Proceso de estado discreto
y tiempo...