Apuntes Sistemas Tema2

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Ecuaciones de primer orden en tiempo continuo

Supongamos que todos los a˜
nos depositamos en el banco 1200 euros a un tipo de inter´es anual 0.06
en tanto por uno. Sea x(k) el dinero acumulado hasta el a˜
no k. Entonces se tiene que
x(k) = 1.06x(k − 1) + 1200.
Supongamos ahora que los intereses se abonan todos los meses, por lo que los intereses ahora ser´an
as, depositamos 100 euros cada mes(dividimos los 1200 euros entre los 12
de 0.06
12 = 0.005. Adem´
meses de un a˜
no). Entonces, ahora tendremos que
x(k) = 1.005x(k − 1/12) + 100,
donde ahora cada intervalo de tiempo tienen longitud 1/12. De otra forma,
x(t + 1/12) = (1 + 0.06/12)x(t) + 1200/12,
donde hamos cambiado k por t + 1/12.
Consideramos ahora intervalos de tiempo de longitud ∆t, y sea x(t) la cantidad acumulada
hasta elinstante t. Entonces, se tendr´
a que
x(t + ∆t) = (1 + 0.06∆t)x(t) + 1200∆t.
Si operamos,
x(t + ∆t) − x(t)
= 0.06x(t) + 1200
∆t
Tomando l´ımites cuando ∆t → 0, tenemos que
x (t) = 0.06x(t) + 1200.
Este es un ejemplo del tipo de ecuaciones que vamos a resolver en este tema.
Una ecuaci´
on diferencial lineal de orden uno con coeficientes constantes es de la forma
x (t) = ax(t) + b.
Si b = 0, tenemosla ecuaci´
on homog´enea
x (t) = ax(t).
En general, una ecuaci´
on diferencial de orden uno viene dada por
x (t) = f (t, x(t)),
a definida en
siendo f : R2 → R. Si la funci´
on f y la derivada parcial ∂f
∂y son continuas y que f est´
todo punto, puede probarse que dada una condici´on inicial x(0) = x0 , existir´a una u
´nica soluci´on a
la ecuaci´
on dada. A veces se escribe x = f (t, x) paraabreviar.

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2.1

C´
alculo de soluciones de la ecuaci´
on lineal

Vamos a empezar buscando las soluciones que permanecen invariantes en el tiempo, es decir, las
soluciones estacionarias o de equilibrio. Si x(t) es una soluci´on de equilibrio, se tendr´a que x(t) = x∗ ,
∀t. Por tanto, x (t) = 0 y las soluciones de equilibrio ser´an las soluciones de la ecuaci´on f (t, x) = 0.
En el caso lineal,tenemos que resolver
0 = ax∗ + b,
por lo que el punto de equilibrio ser´
a
b
x∗ = − ,
a

a = 0.

Si a = 0 y b = 0, la ecuaci´
on diferencial ser´ıa x (t) = 0 y todas las soluciones ser´ıan de equilibrio.
Si a = 0 y b = 0, no habr´
a soluci´
on de equilibrio, pues tendremos 0 = b, que no puede ser.
Al igual que sucede con las ecuaciones lineales en tiempo discreto, la soluci´on general de la
ecuaci´on diferencial x (t) = ax(t) + b ser´a




Soluci´on
Soluci´on


de la
 

de
xG (t) = 
 ecuaci´on  +
equilibrio
homog´enea
siempre que exista la soluci´
on o punto de equilibrio. Veamos cu´al es la soluci´on de la ecuaci´on
homog´enea.
Si suponemos que a = 1, tenemos que x (t) = x(t). La funci´on que cumple que su derivada es
igual a ella misma es et . Si multiplicamos por una constanteel resultado no cambia, as´ı que la
soluci´
on general de la ecuaci´
on es
x(t) = cet
De manera an´
aloga, la soluci´
on general de la ecuaci´on x (t) = ax(t) es
x(t) = ceat
Por lo tanto, si a = 0, la soluci´
on general de la ecuaci´on
x (t) = ax(t) + b.
es
x(t) = ceat + x∗ ,
con x∗ = −b/a.
Si nos dan x(0) = x0 , entonces, como
x(0) = ce0 + x∗ = c + x∗ ,
e igualando llegamos, al igual que en elcaso discreto, a c = x0 − x∗ . As´ı que la soluci´on particular
para x(0) = x0 es
x(t) = eat (x0 − x∗ ) + x∗ .
12

Por otra parte, si a = 0, tenemos la ecuaci´on
x (t) = b.
Las u
´nicas funciones cuya derivada es una constante son las de la forma bt + c. Si ahora imponemos
que x(0) = x0 , llegamos a c = x0 , as´ı que para este caso la soluci´on es
x(t) = bt + x0
Por lo tanto, la soluci´
on de laecuaci´
on x = ax + b es
xG (t) =

ceat + x∗ , si a = 0
bt + c, si a = 0

La soluci´
on que satisface la condici´
on inicial x(0) = x0 ser´a
x(t) =

2.2

eat (x0 − x∗ ) + x∗ , si a = 0
bt + x0 , si a = 0

Comportamiento asint´
otico de las soluciones

Al igual que en el tema anterior, estamos interesados en el comportamiento de las soluciones a
largo plazo. La forma y comportamiento asint´otico...