Apuntes sobre números reales

Facultad de Bromatología Universidad Nacional de Entre Ríos

Matemática
NÚMEROS REALES
Ing. Sergio Pablo Farabello

Año 2010

Matemática
NÚMEROS REALES Ing. Sergio Pablo Farabello

NÚMEROS NATURALES Los números naturales surgen de la necesidad que tuvo el hombre de contar, de enumerar las cosas. El conjunto de los números naturales es un conjunto infinito y se lo designa con la letraℕ. Se lo define por extensión de la siguiente manera:

ℕ = 1, 2, 3, 4, 5, …
Los puntos suspensivos indican que después del último elemento la lista de números naturales continúa indefinidamente.
Algunos subconjuntos particulares son: • • • El conjunto de los números impares = 1, 3, 5, 7, 9, … El conjunto de los números pares = 2, 4, 6, 8, 10, … El conjunto de los números primos = 1, 2, 3, 5, 7,9, 11, 13, 17, …

Con los números naturales se pueden realizar sumas y productos que dan siempre por resultado otro número natural. Estas operaciones tienen la propiedad de ser conmutativas:
+ = + × = × 31 + 24 = 24 + 31 = 55 4 × 12 = 12 × 4 = 48

Sin embargo, dentro del conjunto de los ℕ sólo es posible realizar restas cuando el minuendo es menor que el sustraendo: − ∈ ℕ > − ∉ ℕ ≤

Porejemplo, dentro del conjunto de los ℕ se pueden realizar las restas 5 − 2 = 3 y 36 − 9 = 27, pero no se puede realizar: 12 − 15 o 21 − 21. Los números ℕ se pueden representar gráficamente en una recta orientada (eje “x”), definiendo un punto para el número natural 1 y el valor de la unidad (por ejemplo, una unidad igual a 1cm).

1

2

3

4

5

6

x

2

El conjunto de los números ℕes un conjunto discreto, dado que entre dos valores no siempre existe otro. Por ejemplo, entre el 2 y el 5, existen el 3 y el 4, pero entre el 2 y el 3 no existe ningún otro número natural.
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NÚMEROS ENTEROS Es necesario entonces, considerar otros números para salvar la imposibilidad deefectuar las restas mencionadas. Para ello, se incorporan el número “cero” y los “naturales negativos”, con lo que se completa el conjunto de los números enteros. El conjunto de los números enteros es también un conjunto infinito y se lo designa con la letra ℤ. Se lo define por extensión de la siguiente manera:

ℤ = … , −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, …

ℤ=ℕ ∪ 0 ∪ℕ

Nótese ahora que lospuntos suspensivos indican que no existe ni un primer elemento ni un último elemento del conjunto ordenado de los números enteros.
El conjunto de los números naturales es un subconjunto de los números enteros y, por lo tanto, está incluido en él.

-2 -1 3 6 0 -3
− = − =0

ℕ⊂ℤ
Con los números enteros se pueden realizar sumas, restas y productos que dan siempre por resultado otro número entero.Sólo la suma y el producto son conmutativas, no así la resta o diferencia que da por resultado el entero opuesto (excepto que el minuendo sea igual al sustraendo).
31 − 24 = 7; 24 − 31 = −7 − =− −

1 4

2 5

-5

Z N
-4

Dentro del conjunto de los ℤ sólo es posible realizar cocientes cuando el dividendo es un múltiplo del divisor: Por ejemplo, dentro del conjunto de los ℤ se puederealizar: 8 ÷ 2 = 4 y 48 ÷ −6 = −8, pero no se puede realizar: 4 ÷ 3 o 21 ÷ 5. ÷ ∈ ℤ = ∙ ∧ ∈ ℤ

12 − 12 = 0

3

Los números ℤ se pueden representar gráficamente en la misma recta orientada (eje “x”), la cual tendrá ahora un punto denominado “origen” al que se le asigna el número entero 0. El valor de la unidad se define del mismo modo que para los números naturales. Una unidad a la derecha del valor“cero” u “origen” estará el número entero 1, mientras que una unidad a la izquierda del “origen” estará el número entero -1.

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-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

x

El conjunto de los números ℤ es un conjunto discreto, dado que entre dos...