Apuntes Tema 3 Ecuacic3b3n De La Recta

ECUACIÓN DE LA RECTA.- PRIMERO DE BACHILLERATO.- TEORÍA Y EJERCICIOS.

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ECUACIÓN DE LA RECTA
Sistema de referencia.
Es el conjunto formado por:
• Un punto O del plano llamado origen.
• Una base B ={i, j } para los vectores.
Cuando la base es ortonormal se tiene el sistema de referencia habitual y que
utilizaremos a partir de ahora.

j
i
O

Vector de posición.
Dado un punto P, del planollamaremos vector de posición de dicho punto al vector que
se obtiene uniendo dicho punto con el origen.

P

O

Coordenadas del vector que une dos puntos.

B(x2, y2)
A(x1, y1)

O

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OA + AB = OB y de aquí resulta que AB = OB − OA
Si las coordenadas de A son (x1, y1) y las de B son (x2, y2) resulta:

AB = ( x 2 , y 2 ) − (x1 , y1 ) = ( x 2 − x1 , y 2 − y1 )
es decir, las coordenadas del vector que une los puntos A y B se obtienen restando a las
coordenadas de B las de A.

Punto medio de un segmento.
P

A
M

B

O

Sea el segmento AB cuyo punto medio es M
Si sumamos los vectores OA y OB por la regla del paralelogramo obtenemos que
OP = OA + OB y multiplicando por ½ la igualdad resulta:
1
1
OP = OM = .(OA + OB )
2
2
Ysi las coordenadas de los puntos son: A(x0, y0), B(x1, y1) y M(xm, ym) obtenemos:
1
 x + x1 y 0 + y1 
( x m , y m ) = (( x o , y o ) + ( x1 , y1 ) ) =  0
,
 , es decir, las coordenadas del
2
2 
 2
punto medio de un segmento se obtienen haciendo la semisuma de los puntos extremos
del segmento.

Ecuación vectorial de la recta.
Una recta queda determinada cuando se conoce un punto y un vectordirector de la
misma.
Vector director es aquel que tiene la misma dirección que la recta.

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Sea el siguiente sistema de referencia, también llamado sistema de coordenadas
cartesianas:
P

v
A

O

Conocemos el punto A y el vector director v. El punto P es un punto cualquiera de la
recta.
Utilizando los vectores de posiciónde los puntos dados, resulta:
OP = OA + AP
Además existe un número real λ tal que AP = λ.v
Por tanto,

OP = OA + λ.v

La ecuación obtenida OP = OA + λ.v recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta
dada.
Se llama vectorial porque la conocemos a través de los vectores de posición de cada uno
de sus puntos.
Si las coordenadas de cada uno de los vectores son:
OP = ( x, y ) ; OA = ( x 0 , y 0 )y v = (v1 , v 2 )
se obtiene
( x, y ) = ( x0 , y 0 ) + λ (v1 , v 2 )

que es la ecuación vectorial de la recta expresada en coordenadas.
Para cada valor que le demos a λ se obtiene un punto de la recta y si le dados todos los
valores de los números reales se obtienen todos los puntos.

Ecuaciónes paramétricas
Se obtienen a partir de la ecuación vectorial expresando por separado cada variable:
x =x 0 + λ.v1
y = y 0 + λ.v 2

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Ecuación continua.
Se obtiene a partir de las ecuaciones paramétricas eliminando λ en el sistema:
x = x 0 + λ.v1
y = y 0 + λ.v 2
En la primera ecuación, λ =

x − x0
v1

y − y0
v2
Igualando los valores de λ se obtiene la ecuación continua:

Y en la segunda, λ =

x − x0 y − y 0
=
v1
v2Ejemplo 1:
La ecuación de la recta que pasa por el punto A(2, - 1) y tiene como vector director a
v = i – 4j, será:
El vector v lo expresamos como v = (1, -4) y entonces,
( x, y ) = (2,−1) + λ (1,−4) (Forma vectorial)

x = 2 + λ
(En paramétricas)

 y = −1 − 4λ
x − 2 y +1
=
(Forma continua)
1
−4

Ecuación general o implícita
Se obtiene a partir de la ecuación continua operando y simplificando hastallegar a la
forma
Ax + By + C = 0
Puesta la ecuación de una recta en forma general, el vector v = (- B, A) es un vector
director de la misma, en efecto,

x − x0 y − y 0
=
. Si quitamos denominadores, v2 (x – x0) = v1(y – y0)
v1
v2
Y eliminado paréntesis y ordenando en forma adecuada resulta:

v 2 x − v1 y − v 2 x 0 + v1 y 0 = 0 lo que nos dice que v1= - B y v2 = A

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