Apuntes Teoria de Grupos

Páginas: 135 (33706 palabras) Publicado: 10 de marzo de 2014
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Indice general
0.1. Introducci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1. Definiciones y resultados generales
1.1. Algunas propiedades de los enteros .
1.1.1. Aritm´tica en Z . . . . . . . .
e
1.1.2. El Algoritmo Euclidiano . . .
1.1.3. Los Enteros M´dulo n . . . .
o
1.1.4. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.2. Generalidades sobre grupos . . . . .
1.2.1.Ejercicios . . . . . . . . . . .
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1.3. Indice y el Teorema de Lagrange . . .
1.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.4. Subgrupos normales y grupo cociente
1.4.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.5. Grupos c´
ıclicos . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.6. Los teoremas de isomorfismo . . . . .
1.6.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .
1.7. Producto directo degrupos . . . . . .
1.7.1. Ejercicios . . . . . . . . . . .

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2. Grupos de permutaciones y acciones de grupo
2.1. El grupo de permutaciones y el teorema de Cayley
2.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Acci´n de un grupo en un conjunto . . . . . . . .
o
2.2.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. p-grupos y los teoremas de Sylow . . . . . . . . .
2.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . .. . . . . .
2.4. Grupos de orden pq . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INDICE GENERAL

II

3. Grupos abelianos finitos y automorfismos de grupos
3.1.Grupos abelianos finitos . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Clasificaci´n de grupos de orden ≤ 15 . . . . . . . . . .
o
3.2.1. Grupos no abelianos de orden 8 . . . . . . . . .
3.2.2. Grupos no abelianos de orden 12 . . . . . . . .
3.3. Automorfismos de grupos . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1. Ejercicios . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

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4. Grupos solubles y nilpotentes
4.1. Subgrupos caracter´
ısticos . .
4.2. Grupos nilpotentes . . . . .
4.3. Grupos solubles . . . . . . .
4.3.1. Ejercicios . . . . . .

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Cap´
ıtulo 1
Definiciones y resultados
generales
1.1.

Algunas propiedades de los enteros

Es dif´ por no decir imposible1 , encontrar ´reas de las matem´ticas que no
ıcil,
aa
hagan uso de las propiedades aritm´ticas b´sicas de los enteros, la teor´ de
e
a
ıa
grupos no es la excepci´n. Con esto en mente, queremos iniciar la discusi´n de
o
o
este trabajo presentando algunas propiedades de los enteros. Antes de iniciar,
es importante aclarar aspectos relacionados con la notaci´n y la terminolog´
o
ıa
que usaremos en la discusi´n. Se usar´n los s´
o
a...
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