Apuntes

MATEMATICAS 2º Bachillerato

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r=A+lu A

d B s=B+mv

Determinantes
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

CIENCIAS

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Determinantes
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c 2004 gonzaleof@unican.es 11 de junio de 2004

MATEMATICAS 2º Bachillerato

Tabla de Contenido
1. Introducci´n o 2. Determinantes 2.1.Propiedades 2.2. C´lculo de determinantes con las propiedades a 3. Determinantes de orden superior 3.1. Adjunto de un elemento 3.2. Desarrollo de un determinante por adjuntos 4. Aplicaciones de los determinantes 4.1. Inversa de una matriz • Inversa de una matriz 2 × 2 • Inversa de una matriz 3 × 3 4.2. C´lculo del rango de una matriz a • Menores de una matriz • M´todo pr´ctico e a Soluciones a losEjercicios Soluciones a los Tests

r=A+lu A

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Secci´n 1: Introducci´n o o

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r=A+lu A

1. Introducci´n o Los determinantes hist´ricamente son previos a las matrices. Si bien su o importancia en un principio fu´ mayor en la actualidad el concepto de matriz e ha resultado m´s f´rtil. a e En elcap´ ıtulo de sistemas hemos aprendido a resolver sistemas por el m´todo de Gauss. La idea de expresar las soluciones en funci´n de los coefie o cientes y los t´rminos independientes llev´ a Leibnitz en el siglo XVII, a la e o teor´ de los determinantes. ıa El uso de determinantes nos permitir´ a Calcular la inversa de una matriz Expresar la soluci´n de un sistema de ecuaciones y o Determinar el rangode una matriz. 2. Determinantes Definici´n 2.1 Sea A una matriz de orden 2, llamamos determinante de la o matriz A y lo representamos como |A|, al n´mero u |A| = a b c d = ad − bc (1)

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Secci´n 2: Determinantes o

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r=A+lu A

2.1. Propiedades D1 El determinante es una funci´n lineal decualquiera de sus filas o columo nas. Como las operaciones lineales con vectores son la suma y producto por un escalar, en realidad esta propiedad expresa dos reglas: a+a c b+b d λa λb c d = a b c d =λ + a c b d (D1a)

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a b c d

(D1b)

D2 El determinante cambia de signo cuando se intercambian dos l´ ıneas consecutivas, c d ab = cb − ad = − (D2) a b c d D3 El determinante de la matriz identidad es 1, 1 0 0 1 =1 (D3)

D4 Si dos l´ ıneas paralelas de A son iguales, el determinante es nulo, a b a b = ab − ba = 0 (D4)

Secci´n 2: Determinantes o

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r=A+lu A

D5 Si sumamos a una linea de A un m´ltiplo de otra linea paralela, el u determinante no varia, a+kc b+kd c d = a b c d +k cd c d = a b c d (D5)

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D6 Si A tiene una linea nula, el determinante es nulo, a 0 c 0 =0 (D6)

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D7 Si A es una matriz triangular, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal, a b 0 d = ad (D7)

D8 El determinante de A y de AT son iguales, a b c d = a c b d (D8)

D9 Si una linea es m´ltiplo de otralinea paralela, el determinante es nulo, u a λa c λc =λ a c a c =0 (D9)

Secci´n 2: Determinantes o

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r=A+lu A

Test. Hallar (a) 1

para que se cumpla (b) 3

3·2 3·4 5 1 (c) 2

=

2 5

4 1 (d) 4

d B s=B+mv

Ejercicio 1. Expresa como sumas los determinantes a+1 4 a − 1 2a + 4 a) b) a+2 7 1+a a Inicio del Test A partir de 1. El valor de 6 2. Elvalor de −4 3. El valor de m+p p m 5m p 5p 4 n+q q 6 = · · · es, 0
Correctas

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m n p q = · · · es,

= 3, hallar :

p q

2m 2n

−6 = · · · es,

0

2

0

5

1 Final del Test Puntos:

3

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r=A+lu A

Inicio del Test A partir de 1. El valor de 0 2. El valor...