Apuntes2011 Cestocastico

C´alculo estoc´astico

Joaqu´ın Fontbona

19 de enero de 2012

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Cap´ıtulo 1

Martingalas discretas

Definici´
on 1. Espacio Filtrado(Ω, F, (Fn )n∈N , P) es un espacio filtrado si (Ω, F, P) es un
espacio completo y {Fn }n∈N una filtraci´
on de F, es decir:

(∀n ∈ N)Fn ⊆ F, Fn ⊆ F, F Es σ − algebra
Definici´
on 2. Filtraci´
on natural Sean xn : (Ω, F, P) → R variables aleatorias reales.Definimos la filtraci´
on natural Fn = σ(x1 , · · · , xn ) y denotamos
F∞ = σ(

Fn )

n∈N

¯
Definici´
on 3. Tiempo de parada T es tiempo de parada ssi T : (Ω, F, (Fn )n∈N , P) → N
tal que
(∀n ∈ N) {T ≤ n} ∈ Fn
Definici´
on 4. Eventos anteriores a T Sea T tiempo de parada, se define la tribnu de
evntos anteriores a T como:
FT = {A ∈ F∞ : A ∩ {T ≤ n}}
Definici´
on 5. Proceso adaptado Un proceso (xn )n∈Ndefinido en (Ω, F, (Fn )n∈N , P) se
dice adaptado si
∀n ∈ N, xn es Fn -medible

Propiedades
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1. Sea S,T tdp, luego S ∨ T , S ∧ t son tdp.
2. Si S,T tdp, luego
{S < T } , {S ≤ T } , {S = T } ∈ Fs ∩ FT
3. Si S ≤ T , luego Fs ≤ Ft
4. (Sn )n∈N tdp, luego ´ınf sn , sup sn son tdp.
5. y ∈ F∞ -medible ⇒ yFt medible ⇔
(∀n ∈ N)yIT =n Es Ft medible
6. Si adicionalmente Y ∈ L1 o positiva
E(Y | Ft ) =

IT=n E(Y | Fn )
n∈N

Demostraci´
on de 6 Y es F∞ - medible. Sea A ∈ Ft
E(IA Y ) =

E(IA∩{T =n} Y )
¯
n∈N

E(Ia IT =n E(Y | Fn ))

=
¯
n∈N

Luego usando TCM o TCD se concluye.

Sea el espacio filtrado (Ω, F, (Fn )n∈N , P) y (xn )n∈N un proceso adaptado con xn ∈ L1
∀n ∈ N se define:
Definici´
on 6. Martingala si xn = E(Xn+1 | Fn )
Definici´
on 7. Submartingala si xn ≤ E(Xn+1 | Fn )
Definici´
on 8.Sobremartingala si xn ≥ E(Xn+1 | Fn )

Observaciones

(Fn )n∈N no es necesariamente la filtraci´on adaptada de xn
(xn ) martingala E(xn ) = E(x0 ), submartingala E(xn ) creciente, sobremartingala E(xn )
decreciente
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Propiedad (xn )n∈N martigala (resp. sub, sobre)
(∀m ≤ n)E(xn | Fm ) = (≥, ≤)xm c.s

Demostraci´
on Realice inducci´
on en k = n − m y propiedad de ecuaciones andidadas.

Ejemplos

1.(Yn )n∈N va L1 independientes, centradas y xn =
martingala

n
i=0

yi con la filtraci´on natural, es

2. (Yn )n∈N va L∞ independientes ≥ 0, con E(Yn ) = C, definimos xn = Πni=0 Yi con la
filtraci´
on natural, se tiene:
E(xn+1 | Fn ) = cxn
Luego es martingala si C = 1, submartingala si C > 1 y sobremartingala si C < 1.
3. Si (Ω, F, (Fn )n∈N , P) espacio filtrado y z ∈ L1 (Ω, F, P), xn = E(z | Fn ) esmartingala.

Propiedades

1. El conjunto de martingalas en (Ω, F, (Fn )n∈N , ¶) es espacio vectorial
2. El conjunto de submartingalas (sobremartingalas) es un cono
3. (xn ), (yn ) es submartingala, entonces xn ∨ yn es submartingala
4. (xn )n∈N martigala y Φ : R → R convexa con Φ(xn ) ∈ L1 , tenemos que Φ(xn ) es
submartingala
5. (xn )n∈N submartingala y Φ : R → R convexa y creciente, tenemos queΦ(xn ) es submartingala

1.1.

Teorema de Parada

Definici´
on 9. Proceso detenido Sea (Ω, F, Fn , P) un espacio filtrado, T un tiempo de
parada ( no necesariamente finito), Yn : (Ω, F, P) → R famili de va, definimos el proceso
detenido en T como
YnT = Yn∧T
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Teorema 1. Teorema de Parada de Doob Si (Xn )n∈N es martignala (resp. sobre, sub)
Entonces XnT tambi´en

Demostraci´
on (Para martingalas)Sea (xn )n∈N martingala y T tdp:
n

XnT = Xn In≤T +

Xm It=m
m=0

Como ambos sumandos son Fn medibles XnT es un proceso adaptado, adem´as

n

|Xn | ∈ L1

XnT ≤ |Xm | +
m=0

T
Adem´
as Xn+1
= Xn+1 In+1≤T + Xt In+1>T Siendo todos los elementos Fn - medibles,
excepto Xn+1 que es Fn+1 -medible, luego tomando esperanza condicional, tenemos que

T
E(Xn+1
| Fn ) = E(Xn + 1 | Fn )In+1≤T + Xt In+1>T

= XnIn≤T + XT In>T
= XnT

Observaci´
on

1. Si (xn )n∈N martingala y t es tdp entonces
E(X0 ) = E(Xn∧T )
¿Es cierto el rec´ıproco?, generalmente no, pero si |xn∧T | ∈ L1 lo tenemos por convergencia dominada
2. Si Xn ≥ 0 es martingala y T tdp < ∞ c.s
E(XT ) = E(l´ım inf Xn∧T )
n

≤ l´ım inf E(Xn∧T ) = E(X0 )
n

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3. Notemos que si (Yi )i∈N ∈ Z variable aleatoria independiente pero E(Yi ) = 0, xn...