Apuntesalyg
Páginas: 246 (61262 palabras)
Publicado: 27 de diciembre de 2012
ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA
LAUREANO GONZALEZ VEGA Y CECILIA VALERO REVENGA Departamento de Matem´ticas, Estad´ a ıstica y Computaci´n o Universidad de Cantabria
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´ Indice
1 Espacios Vectoriales 1.1 Definici´n de Espacio Vectorial. Primeros ejemplos. o 1.2 Subespacios Vectoriales. Combinaciones lineales. . . 1.3 Independencia lineal. Bases. . . . . . . . . . . . . . 1.4 Suma eintersecci´n de subespacios. Suma directa . o 1.5 Ejercicios Cap´ ıtulo 1 Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Aplicaciones Lineales y Matrices 2.1 Definici´n de Aplicaci´n Lineal. Ejemplos . . o o 2.2 N´cleo e imagen. F´rmula de las dimensiones u o 2.3 Tipos de Aplicaciones Lineales. Isomorfismos. 2.4 Matriz asociada a una aplicaci´n lineal . . . . o 2.5 Cambios de base y matricesequivalentes . . . 2.5.1 Cambios de Base . . . . . . . . . . . . 2.5.2 M = QM P . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Ejercicios Cap´ ıtulo 2 Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 10 15
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. . . . . . . . . . . . . .. . 20 27 27 29 32 35 39 40 42
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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4861 61 68 72 79 83
3 La Teor´ del Endomorfismo. ıa 3.1 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 El polinomio m´ ınimo de un endomorfismo . . . . . . . 3.3 Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Endomorfismos nilpotentes. Forma can´nica de Jordan o 3.5 C´lculo aproximado de autovalores . . . . . . . . . . . a 3.6 Ejercicios Cap´ ıtulo 3 Teor´ delEndomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa
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. . . . . . . . . . . . . . 88 103 . 103 . 109 . 113 . 113 . 115 . 115 . 115 . 117
4 Geometr´ Eucl´ ıa ıdea 4.1 Producto escalar y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4.2 Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Aproximaci´n por m´ o ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales sobredimensionados o 4.4 Isometr´ en espacios vectoriales eucl´ ıas ıdeos . . . . .. . . . . . . . . . . . 4.4.1 Definici´n y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.4.2 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensi´n 2 . . . . o 3
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4 4.4.3 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensi´n o Espacio Af´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ın 4.5.1 Sistemas dereferencia y cambio de sistema de referencia 4.5.2 Aplicaciones Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudio de algunas aplicaciones afines particulares . . . . . . . . 4.6.1 Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Simetr´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Homotecias . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Giros en X = R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´nicas y Cu´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.7.1 C´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.7.2 Cu´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Ejercicios Cap´ ıtulo 4 Tema Geometr´ Eucl´ ıa ıdea . . . . . . . . ....
LAUREANO GONZALEZ VEGA Y CECILIA VALERO REVENGA Departamento de Matem´ticas, Estad´ a ıstica y Computaci´n o Universidad de Cantabria
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1 Espacios Vectoriales 1.1 Definici´n de Espacio Vectorial. Primeros ejemplos. o 1.2 Subespacios Vectoriales. Combinaciones lineales. . . 1.3 Independencia lineal. Bases. . . . . . . . . . . . . . 1.4 Suma eintersecci´n de subespacios. Suma directa . o 1.5 Ejercicios Cap´ ıtulo 1 Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Aplicaciones Lineales y Matrices 2.1 Definici´n de Aplicaci´n Lineal. Ejemplos . . o o 2.2 N´cleo e imagen. F´rmula de las dimensiones u o 2.3 Tipos de Aplicaciones Lineales. Isomorfismos. 2.4 Matriz asociada a una aplicaci´n lineal . . . . o 2.5 Cambios de base y matricesequivalentes . . . 2.5.1 Cambios de Base . . . . . . . . . . . . 2.5.2 M = QM P . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Ejercicios Cap´ ıtulo 2 Aplicaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . 5 5 7 10 15
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3 La Teor´ del Endomorfismo. ıa 3.1 Autovalores y autovectores . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 El polinomio m´ ınimo de un endomorfismo . . . . . . . 3.3 Subespacios invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Endomorfismos nilpotentes. Forma can´nica de Jordan o 3.5 C´lculo aproximado de autovalores . . . . . . . . . . . a 3.6 Ejercicios Cap´ ıtulo 3 Teor´ delEndomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . ıa
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4 Geometr´ Eucl´ ıa ıdea 4.1 Producto escalar y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 4.2 Proyecci´n ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.3 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Aproximaci´n por m´ o ınimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales sobredimensionados o 4.4 Isometr´ en espacios vectoriales eucl´ ıas ıdeos . . . . .. . . . . . . . . . . . 4.4.1 Definici´n y primeras propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.4.2 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensi´n 2 . . . . o 3
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4 4.4.3 Transformaciones ortogonales en un espacio de dimensi´n o Espacio Af´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ın 4.5.1 Sistemas dereferencia y cambio de sistema de referencia 4.5.2 Aplicaciones Afines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudio de algunas aplicaciones afines particulares . . . . . . . . 4.6.1 Proyecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Simetr´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3 Traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.4 Homotecias . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.5 Giros en X = R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C´nicas y Cu´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o a 4.7.1 C´nicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.7.2 Cu´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a Ejercicios Cap´ ıtulo 4 Tema Geometr´ Eucl´ ıa ıdea . . . . . . . . ....
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