ApuntesCelani

Cap´ıtulo 1

L´ogica Proposicional
La L´ogica se ocupa de los m´etodos del razonamiento. Uno de los objetivos fundamentales es sistematizar y codificar principios de los razonamientos v´alidos con el objeto de formar o construir argumentaciones o deducciones que sean correstas. Un argumento o deducci´on consta esencialmente de un conjunto
de sentencias (afirmaciones) que forman lo que se llamapremisas o hip´otesis de las cuales otra sentencia, llamada conclusi´on, es deducida o inferida. Nosotros nos ocuparemos de analizar en cierto detalle
las deducciones. Por ejemplo, si queremos deducir alguna propiedad acerca de los n´umeros naturales en
la deducci´on (o tambi´en llamada demostraci´on o prueba) de tal propiedad , emplearemos sentencias o
propiedades que sabemos a priori que sonverdaderas y posiblemente tambi´en hip´otesis adicionales que
no necesariamente son verdaderas. Supongamos que queremos deducir la siguiente propiedad elemental
acerca de los n´umeros naturales:
Para todo  ✂✁

✄✆☎✞✝

, si  ✠✟✡✄☞☛✍✌ , entonces ✄✆✎✏  .

En la formulaci´on de esta propiedad interviene la sentencia  ✑✟✒✄✓☛✔✌ que obviamente no es
necesariamente cierta para todos los n´umeros naturales. Peroes evidente que la formulaci´on anterior
no afirma que  ✔✟✓✄✆☛☞✌ es v´alida, afirma que en caso de que estemos en presencia de un par de
naturales   y ✄✕✁ cumpliendo la propiedad de que  ✖✟✍✄✔☛✍✌ ✁ entonces ser´a verdadero que ✄✒✎✗  . En
la demostraci´on de la anterior propiedad utilizaremos la hip´otesis ” ✍✟✔✄✑☛✘✌ ✙ tambi´en propiedades
conocidas anteriormente.
Para analizar la estructura delas deducciones necesitamos fijar un lenguaje en donde trabajar. Si por
ejemplo, queremos estudiar el idioma Espa˜nol, necesitaremos conocer primero el alfabeto el cual nos
permitir´a construir palabras y posteriormente frases cada vez m´as complejas. De igual forma nosotros
deberemos establecer un alfabeto que constar´a de ciertos s´ımbolos a partir de los cuales y por medio
de ciertas reglasconstruiremos lo que llamaremos f´ormulas del lenguaje. En Espa˜nol toda palabra se
puede ver como una secuencia finita de s´ımbolos. Nuestras f´ormulas tambi´en ser´an secuencias finitas de
s´ımbolos de nuestro lenguaje.

1.1.

Lenguaje Proposicional

En el lenguaje ordinario nos encontramos constantemente con sentencias que han sido formadas
uniendo frases m´as peque˜nas por medio de ciertaspalabras, como las palabras no, y, o, y por si......
entonces (o implica)....., si y s´olo si, etc. Estas palabras son llamadas conectivos proposicionales o
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1.1. Lenguaje Proposicional

Cap´ıtulo 1. L´ogica Proposicional

conectivos l´ogicos. Nuestra procupaci´on es estudiar la estructura de sentencias en donde aparecen estos
conectivos.
Ahora vamos a definir el lenguaje ✚ de la L´ogica ProposicionalCl´asica. Este lenguaje es un conjunto
de s´ımbolos con los cuales formamos cadenas de elementos de ✚ . Las cadenas no se construyen de
una manera arbitraria. Daremos reglas precisas para la formaci´on de dichas cadenas, las cuales ser´an
llamadas f´ormulas.
Lenguaje.

El lenguaje ✚ del C´alculo Proposicional Cl´asico (CPC) consta de las siguientes partes:

1. Un conjunto finito o numerable des´ımbolos ✛✢✜ ✣ , llamados s´ımbolos proposicionales o variables.
Los elementos de ✛✞✜ ✣ ser´an denotados por ✤ , ✥ , ✣ , etc.
2. Un conjunto de s´ımbolos ✦
es

✧✩★ ✪✫★ ✬✂★ ✭✗✮
✪

✧
✭

✬

, llamados conectivos proposicionales y cuya interpretaci´on

se interpreta como negaci´on
se interpreta como o
se interpreta como y
se interpreta como si...., entonces...

3. Los s´ımbolos auxiliares ( y ).
Loss´ımbolos auxiliares sirven para separar distintas componentes de las f´ormulas. No deben ser
entendidos como s´ımbolos del lenguaje.
Teniendo definido el lenguaje ahora corresponde decir como unimos estos s´ımbolos para formar
cadenas finitas de s´ımbolos. Las reglas de formaci´on dadas en la siguiente definici´on nos dice como
debemos esto.
Definici´on 1.1 El conjunto de las f´ormulas ✯✱✰ es el...