Apunts Polinomis

POLINOMIS
1. Introducció
Definicions
Un polinomi en la indeterminada x és una expressió del tipus
p(x)=a0+a1x+ a2x2+ a3x3+·····+ anxn on ai

, i=0, 1, 2, ..., n

aixi són termes del polinomi, a0 és el terme independent, n
i ai són els coeficients.

és el grau del polinomi

Exemple
p(x)=5x3–4x+1
En aquest cas el grau del polinomi és 3, el terme independent és 1 i els coeficientsrestants són a3=5, a2=0, a1= – 4.
Si el polinomi només té un terme, s’anomena monomi. Si en té dos, s’anomena binomi
i si en té tres, s’anomena trinomi.
Exemple
p(x)=5x3 és un monomi
p(x)=5x3–4x és un binomi
p(x)=5x3–4x+1 és un trinomi.
Valor numèric d’un polinomi
És el valor que s’obté quan es substitueix la x per un nombre.
Exemple
p(x)=5x3–4x+1
p(2)= 5·23–4·2+1=33 és el valor numèricdel polinomi quan x=2.
p(0)=1
Suma i resta de polinomis
Per sumar o restar dos polinomis cal sumar els termes que tenen el mateix grau.
Exemple
p(x)=5x3–4x+1, q(x)= –9x5+3x4+7x–5
p(x)+q(x)=5x3–4x+1–9x5+3x4+7x–5=–9x5+3x4+5x3+3x–4
q(x)–p(x)= –9x5+3x4+7x–5–(5x3–4x+1)= –9x5+3x4+7x–5–5x3+4x–1=–9x5+3x4–5x3+11x–6
Observació
El grau del polinomi suma o resta és, com a màxim, igual al grau delpolinomi sumand
de grau més alt.

1

Producte de polinomis
Per multiplicar polinomis cal aplicar la propietat distributiva i les propietats de les
potències.
Exemple
p(x)=5x3–4x+1, q(x)= –9x5+7x
p(x)·q(x)=(5x3–4x+1)·(–9x5+7x)=–45x8+36x6–9x5+35x4–28x2+7x
Observació
El grau del polinomi producte és igual a la suma dels graus dels polinomis factors.
Exercici 1.1
Siguin els polinomisp(x)=x–2 i q(x)=7x2–3x+4.
Fes les operacions següents i indica, en cada cas, el grau del polinomi resultant:
a) p(x)+q(x)
b) p(x) –q(x)
c) p(x)·q(x)

2. Quocient de polinomis
Començarem pel quocient de monomis.
Exemple

En general tindrem

Observació
Si el grau del monomi del numerador és menor que el grau del monomi del
denominador, el resultat no és un monomi perquè el grau seria negatiu.Per dividir un binomi per un monomi es divideix cada terme del binomi pel monomi.
Exemple

Per dividir dos polinomis qualssevol es cal aprendre els passos següents.

2

Exemple
x4–3x3+5x2 –1
–x4 –2x3+ x2
–5x3+ 6x2
5x3+10x2–5x

D(x)= x4–3x3+5x2 –1 és el dividend
d(x)= x2 +2x –1 és el divisor
q(x)= x2–5x+16 és el quocient
r(x)=27x+15 és el residu

x2 +2x –1
x2–5x+16

16x2– 5x–1
–16x2+32x+16
27x+15
Procediment per dividir
1) En el dividend deixem els espais corresponents en els termes que falten.
2) Dividim el monomi de grau més alt del dividend pel monomi de grau més alt
del divisor: x4/x2= x2.
3) El producte d’aquest resultat (x2) es multiplica pel divisor i es col·loca a sota del
dividend canviat de signe. Se’n fa la suma.
4) El primer residu és –5x3+ 6x2–1.5) Es torna a seguir el procediment explicat a partir dels passos 2 i 3 fins que el
grau del residu és menor que el del divisor.
Exercici 2.1
Divideix p(x)=x5–6x3–25x entre q(x)=x2+3x.
Observa que inicialment hem fet la divisió següent D(x) d(x)
r(x) q(x)
amb la qual cosa podem afirmar que D(x)=d(x)·q(x)+r(x).
Quan r(x)=0, la divisió s’anomena divisió exacta. En aquest cas
i) D(x) ésmúltiple de d(x) i q(x)
ii) D(x) és divisible per d(x) i q(x)
iii) d(x) i q(x) són divisors de D(x)
Exercici 2.2
Quant han de valer a i b perquè la divisió següent sigui exacta?
(x4–5x3+3x2+ax+b):(x2–5x+1)
El grau del polinomi quocient és igual a la resta dels graus del polinomi dividend i el
polinomi divisor: grau q(x)=grau D(x) – grau d(x).
Exercici 2.3
En una divisió de polinomis eldividend és de grau 5 i el divisor és de grau 2. Quin és el
grau del quocient? Què en pots dir del grau del residu?
3. Divisió d’un polinomi per x–a. Regla de Ruffini.
Nota: si dividim per x–3, aleshores a=3. Si dividim per x+5, aleshores a=–5.
3

Exemple
Utilització de la regla de Ruffini. Aquesta regla només serveix per dividir quan el divisor
és del tipus x–a.
Dividim 6x4–3x2+x+1...