Aquiles Va

ejercicios seccion 3.4 ejercicio 5 sean X = (xn ), Y = (yn ) sucesiones dadas , y sea la sucesi´n ”barajada” o Z = (zn ) definida por Z1 = x1 , Z2 = y1 , · · · , Z2n−1 = xn ,Z2n = yn , · · · ,. Demostrar que Z es convergente si y solo si tanto X como Y son convergentes y lim X = lim Y Demostraci´n o ⇒ Sea Z = (zn ) tomemos Z2n−1 = xn , Z2n = yn dossubsucesiones de Z , como Z es convergente existe un l tal que |zn − l| < ε luego por el teorema 3.4.2 tenemos que tanto Z2n−1 = xn como Z2n = yn convergen a l , pero comoZ2n−1 = (xn ) = X y Z2n = (yn ) = Y entonces tenemos que tanto X como Y convergen a l, esto es lim X = l = lim Y . ⇐ Ahora veamos que si tanto X como Y convergen y lim X = lim Y ,entonces Z = (zn ) es con vergente. En efecto:   (xn ) = X si n es impar Z = (zn ) =  (yn ) = Y si n es par luego como por hipotesis tanto X como Y convergen y lim X = l = limY (por la forma en que esta definida Z ) tenemos que Z es convergente . Ejercicio 9 Suponer que toda subsucesio´ de X = (xn ) tiene una subsucesio´ que converge n n a 0demostrar que lim X = 0 Demostraci´n o sea X = (xnk ) una subsucesio´ de X = (xn ) y X = (xnk ) una subsucesi´n de n o X = (xnk ), luego por hipotesis X converge a 0 , esto es |xnk |< ε (1) Veamos que X converge a 0 . razonemos por el absurdo y digamos que X no converge a 0 , luego por teorema 3.4.4 existe ε > 0 tal que |xnk | ε para toda k ∈ N , lo cualcontradice (1), por lo tanto X converge a 0. Ahora como X es una subsucesi´n de X debe tenerse que X converge a 0 , ya o que si suponemos que X no converge a 0 , entonces porteorema 3.4.4 existe ε > 0 tal que |xnk | ε para toda k ∈ N , lo cual contradice el hecho de que X converge a 0 . por lo tanto X converge a 0 , esto es lim X = 0.

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