Aquiles Y La Tortuga

PARADOJAS Y FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA. HISTORIA Y PEDAGOGÍA Juan Eduardo Nápoles Valdes
"No debo buscar mi dignidad en el espacio, sino en el cuidado de mi pensamiento. Si fuera por el espacio, el universo me tragaría y me comprehendería como a un punto; por el pensamiento, yo lo comprendo a él " Pascal

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UTN-FRR French 414 (3500) Resistencia, Chaco Argentina jnapoles@frre.utn.edu.ar

INDICE 1. Preliminares. 2. El Mundo Griego. 2.1. Las Paradojas de Zenón. 2.2. Paradojas de la Geometría Euclidiana. 3. Paradojas Aritméticas. 4. Paradojas de la Teoría de Conjuntos. 5. Paradojas Numéricas. 5.1. Paradojas con series numéricas. 5.2. Paradojas Estadísticas. 5.3. Paradojas Probabilísticas. 6.Paradojas que envuelven logaritmos. 7. Paradojas que envuelven funciones. 8. Paradojas que envuelven nociones del Cálculo. 9. Paradojas geométricas. 10. Paradojas que envuelven descomposición geométricos. 11. Paradojas Temporales. 12. Observaciones Finales.

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PARADOJAS Y FUNDAMENTOS DE LA MATEMÁTICA. HISTORIA Y PEDAGOGÍA 1

1. Preliminares. Una paradoja ha sido descrita como unaverdad ubicada en la cabeza para llamar la atención. Por supuesto que ellas nos preocupan, divierten, exasperan y seducen. Más importante aún, despiertan curiosidad, la estimulan y la motivan. El concepto de paradoja puede entenderse como uno de los siguientes: 1. Una declaración contradictoria que parece ser cierta. 2. Aquello que exhibe aspectos o cualidades contradictorias o inexplicables. 3.Una declaración esencialmente contradictoria basada en un razonamiento válido de suposiciones lógicas. Existen varios tipos de paradojas: 1. Afirmaciones que parecen falsas, aunque en realidad son verdaderas. 2. Afirmaciones que parecen verdaderas, pero que en realidad son falsas. 3. Cadenas de razonamientos aparentemente correctas, pero que conducen a contradicciones lógicas (a éstas se les llamafalacias). 4. Declaraciones cuya veracidad o falsedad es indecidible. Nosotros usaremos el término paradoja en un amplio sentido para significar una inconsistencia, un contraejemplo como ayuda para clarificar nociones, una idea falsa, un planteamiento verdadero que parece ser falso. Existen varias formas en que las paradojas han desempeñado un papel importante en la evolución de las Matemáticas. Suresolución ha exigido abandonar armazones conceptuales existentes y ha estimulado a menudo el nacimiento de ideas matemáticas importantes. De hecho, como Bell y Davis, respectivamente, puntualizan: “Los errores y las dificultades sin resolver del pasado en Matemáticas han sido siempre las oportunidades de su futuro” i. “Uno de los aspectos de fascinación sin fin de las Matemáticas, es que susparadojas más espinosas tienen una manera de la floración en teorías hermosas” ii. Las paradojas pueden ser útiles también en el aula. La confusión y la inseguridad temporales que pueden generarse en los alumnos -también llamados conflictos cognitivos- pueden ser destinadas al buen uso docente. Los conflictos generados son dispositivos pedagógicos útiles (proporcionados, por supuesto, en eltratamiento de dichos conflictos). Pueden fomentar la actitud positiva de “seguir pegados", proporcionan la oportunidad de participar en el discusión y revisiones matemáticas y de promover la realización de estas acciones que las Matemáticas desarrollan a menudo de esta misma manera. Los profesores pueden ganar una apreciación mejor de las dificultades de los estudiantes al tratar con conceptos yresultados con los cuales algunos de los matemáticos más grandes de todos los tiempos, lucharon. Tales conceptos y resultados, que eran paradójicos y desafiadores en ese entonces, se convirtieron en lenguaje común en generaciones posteriores. En palabras de Kasner y Newman: “El testamento de la ciencia es un flujo continuo en que la herejía de ayer es la inspiracióniii de hoy y el fundamentalismo de...