Aquiles

Zenón, Aquiles, la tortuga y la demostración del infinito. Hugo Santander Ferreira

A Parte Rei 17

Zenón, Aquiles, la tortuga y la demostración del infinito
Hugo Santander Ferreira∗
Hsantand@mailcity.com

De cualquier modo, el concepto del infinito no es infinito

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Aristóteles, Metafísica 994b, 28

Los periódicos celebran la elaborada y lenta recuperación de varios textos de
Arquímedes. Sustratados matemáticos, concebidos originalmente en el siglo 2 A.C. derivan
de un libro de oraciones de la iglesia ortodoxa; un palimpsestos, o pergamino reusado que
data del siglo noveno. El manuscrito fue hurtado de un monasterio griego de Constantinopla
en 1922; Loius Siriex, ciudadano francés, lo compró y lo decoró con iluminaciones piadosas y
espurias. Tras su muerte sus herederos buscaron uncomprador: su paciencia fue retribuida
en Nueva York.
Los medios de comunicación, siempre ávidos de progreso, concluyen que la historia
de las matemáticas será reescrita; su hipotésis se basa en el hecho de que Arquímedes, de
acuerdo a uno de los fragmentos recobrados, concibió el volumen de una esfera como
resultado de la suma infinita de todos sus círculos: una aplicación del concepto matemáticodel infinito a la geometría euclidiana. Isaac Newton la reformuló sin conocimiento del texto de
Arquímedes: una fuerza es una progresión geométrica infinita, útil al momento de calcular la
trayectoria curva de los cuerpos en movimiento.
El comentario de Arquímedes aborda, por otra parte, al problema de Aquiles y la
tortuga, propuesto en el siglo quinto A.C. por Zenón de Elea:
AB/2
I
A

AB/4
I

AB/8AB/16…
I
I
B

Aquiles compite una carrera con la tortuga a lo largo de la linea AB; en un gesto de
gallardía, el héroe griego otorga a la tortuga la mitad del terreno, esto es, hasta AB/2. Aquiles
dobla a la de la tortuga en velocidad: cuando Aquiles, 'el de los pies ligeros', alcanza el punto
AB/2, la tortuga se ha desplazado al punto AB/4. Sin desesperarse Aquiles camina hasta el
punto AB/4,pero para entonces la tortuga ha alcanzado al punto AB/8 y cuando Aquiles llega
al punto AB/8 la tortuga estará en el punto AB/16, después en AB/32, en AB/64 y así
infinitamente. En términos matemáticos Aquiles jamás podrá superar a la tortuga.
Desde Aristóteles cada filósofo y matemático conspicuo ha intentado aclarar esta
aporía; Hume escribió que las unidades del mundo físico son indivisibles,pero titubeó al
momento de dar cuenta de las razones de esta indivisibilidad. Las enciclopedias
contemporaneas, ahondando en el razonamiento de Hume, proclaman que una linea no está
compuesta de puntos infinitos, sino finitos, tan densamente comprimidos que la distancia
entre uno y otro es inexistente. Esta explicación, que algún discípulo de Platón ya habían
formulado, es ilusoria: los presupuestosde que hay unidades indivisibles en el mundo físico,
y de que la distancia entre dos puntos desaparecerá en un momento dado no satisfacen
nuestro entendimiento. Los físicos formulan su respuesta a partir de los neutrinos, las
partículas más minúsculas que han detectado en el universo, lo que, siendo útil, no deja de
ser inconsistente. Aunque supongamos que la materia más miníuscula del universo∗

Profesor de la Universidad de Salford, Inglaterra. MFA en Film & Media Arts de Temple
University, EU. Director de cine, documentalista y escritor. Autor de la novela «Nuevas
Tardes en Manhattan» (Bucaramanga: Editorial Tabor, 2000).
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Eì dè mé, oùk apeirón g' èstìn tò àpeíro eìnai.

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desaparecerá en un momento determinado para convertirse en energía, nuestro
entendimiento podrá, a nivel conceptual, dividir dicha partícula ad infinitum.
Propondré por lo tanto una solución matemática y otra ontológica. El primer
postulado consta en un diálogo caricaturesco de La Leçon de Eugéne Ionesco:
PROFESOR—. ¿Cuántas unidades hay entre tres y cuatro? O entre...