Arboles Avl

Arboles AvL
El árbol AVL toma su nombre de las iniciales de los apellidos de sus inventores, Adelson-Velskii y Landis. Lo dieron a conocer en la publicación de un artículo en 1962: "An algorithm for the organization of information" ("Un algoritmo para la organización de la información").
Los árboles AVL están siempre equilibrados de tal modo que para todos los nodos, la altura de la ramaizquierda no difiere en más de una unidad de la altura de la rama derecha o viceversa. Gracias a esta forma de equilibrio (o balanceo), la complejidad de una búsqueda en uno de estos árboles se mantiene siempre en orden de complejidad O(log n). El factor de equilibrio puede ser almacenado directamente en cada nodo o ser computado a partir de las alturas de los subárboles.
Para conseguir estapropiedad de equilibrio, la inserción y el borrado de los nodos se ha de realizar de una forma especial. Si al realizar una operación de inserción o borrado se rompe la condición de equilibrio, hay que realizar una serie de rotaciones de los nodos.
Los árboles AVL más profundos son los árboles de Fibonacci


Factores De Equilibrio

Cada nodo, además de la información que se pretendealmacenar, debe tener los dos punteros a los árboles derecho e izquierdo, igual que los árboles binarios de búsqueda (ABB), y además el dato que controla el factor de equilibrio.
El factor de equilibrio es la diferencia entre las alturas del árbol derecho y el izquierdo:
FE = altura subárbol derecho - altura subárbol izquierdo;
Por definición, para un árbol AVL, este valor debe ser -1, 0 ó 1.
Si elfactor de equilibrio de un nodo es:
0 -> el nodo está equilibrado y sus subárboles tienen exactamente la misma altura.
1 -> el nodo está desequilibrado y su subárbol derecho es un nivel más alto.
-1 -> el nodo está desequilibrado y su subárbol izquierdo es un nivel más alto.
Si el factor de equilibrio  es necesario reequilibrar.



Ejemplo de Árbol binario Equilibrado, Es UnÁrbol AvL.
Representación de los nodos
Los nodos de los árboles binarios son estructuras en C/C++ que están compuestas por tres partes:
* Un apuntador al subárbol izquierdo.
* Un apuntador al subárbol derecho.
* Una parte de información, que puede ser una estructura en sí misma.
* Adicionalmente es muy útil poner un apuntador al padre del nodo. 
Operaciones
Lasoperaciones básicas de un árbol AVL implican generalmente el realizar los mismos algoritmos que serían realizados en un árbol binario de busqueda desequilibrado, pero precedido o seguido por una o más de las llamadas "rotaciones AVL".
Rotaciones
El reequilibrado se produce de abajo hacia arriba sobre los nodos en los que se produce el desequilibrio. Pueden darse dos casos: rotación simple orotación doble; a su vez ambos casos pueden ser hacia la derecha o hacia la izquierda.

Rotación Simple a La Derecha
De un árbol de raíz (r) y de hijos izquierdo (i) y derecho (d), lo que haremos será formar un nuevo árbol cuya raíz sea la raíz del hijo izquierdo, como hijo izquierdo colocamos el hijo izquierdo de i (nuestro i’) y como hijo derecho construimos un nuevo árbol que tendrá como raíz,la raíz del árbol (r), el hijo derecho de i (d’) será el hijo izquierdo y el hijo derecho será el hijo derecho del árbol (d).




Rotación Simple a La izquierda
De un árbol de raíz (r) y de hijos izquierdo (i) y derecho (d), consiste en formar un nuevo árbol cuya raíz sea la raíz del hijo derecho, como hijo derecho colocamos el hijo derecho de d (nuestro d’) y como hijo izquierdoconstruimos un nuevo árbol que tendrá como raíz la raíz del árbol (r), el hijo izquierdo de d será el hijo derecho (i’) y el hijo izquierdo será el hijo izquierdo del árbol (i).
Precondición: Tiene que tener hijo derecho no vacío.

Si la inserción se produce en el hijo derecho del hijo izquierdo del nodo desequilibrado (o viceversa) hay que realizar una doble rotación.

Rotación Doble a La Derecha...