Archivo 4 SOR 2010

Sistemas de Optimización de Recursos

CASO: Stratton Company
La Stratton Company produce dos tipos de tubos de plástico. Tres recursos son
fundamentales para la producción de esos tubos: las horas de extrusión, las horas de
embalaje y un aditivo especial para las materias primas del plástico. Los siguientes datos
presentan la situación correspondiente a la semana próxima. Todos los datos estánexpresados en unidades de 100 pies de tubo.
Producto
Tipo 1

Tipo 2

Disponibilidad de
recursos

Extrusión

4 horas

6 horas

48 horas

Embalaje

2 horas

2 horas

18 horas

Mezcla aditiva

2 libras

1 libra

16 libras

Recurso

La contribución a las ganancias y a los gastos generales por cada 100 pies de tubo es de $34
para el tipo 1 y de $40 para el tipo 2. Formule un modelo de programación linealpara
determinar qué cantidad de cada tipo de tubo será necesario producir para maximizar la
contribución total a las ganancias y a los gastos generales.

FORMULACIÓN:
Sean:
X1 = Cantidad de tubo tipo 1 que será necesario producir y vender la próxima semana,
medido en incrementos de 100 pie de tubo (donde X1 = 2, expresaría 200 pies de
tubo).
X2 = Cantidad de tubo tipo 2 que será necesarioproducir y vender la próxima semana,
medido en incrementos de 100 pie de tubo.
Tal que:
MAX Z = 34 X1 + 40 X2
Sujeto a:
4 X1 + 6 X2 ≤ 48 (horas disponibles Extrusión)
2 X1 + 2 X2 ≤ 18 (horas disponibles Embalaje)

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2 X1 +

X2 ≤ 16 (libras disponibles Aditivo)

X1 , X2 ≥ 0
SOLUCION GRAFICA:
Graficando las restricciones tenemos:
A) Disponibilidad de horas deextrusión (en el límite)
4 X1 + 6 X2 = 48
si X1 = 0 ; entonces

X2 = 48/6 = 8 ;

punto (0,8)

si X2 = 0 ; entonces

X1 = 48/4 = 12 ;

punto (12,0)

B) Disponibilidad de horas de embalaje (en el límite)
2 X1 + 2 X2 = 18
si X1 = 0 ; entonces

X2 = 18/2 = 9 ;

punto (0,9)

si X2 = 0 ; entonces

X1 = 18/2 = 9 ;

punto (9,0)

C) Disponibilidad de libras de aditivo (en el límite)
2 X1 + X2 = 16
si X1 = 0 ;entonces

X2 = 16 ;

punto (0,16)

si X2 = 0 ; entonces

X1 = 8 ;

punto (8,0)

D) Graficando la Función Objetivo (en un valor de Z arbitrario)
Z =

34 X1 + 40 X2

Sea Z = 136 (valor arbitrario y conveniente)
si X1 = 0 ; entonces

X2 = 3.4 ;

punto (0,3.4)

si X2 = 0 ; entonces

X1 = 4 ;

punto (4,0)

Graficando tenemos:

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GRAFICO FINAL:

Horas disponiblesEmbalaje
4 X1 + 2 X2 ≤ 18
Solución Optima (3,6)
B
libras disponibles aditivo
C

2 X + X ≤ 16

Horas disponibles Extrusión
D
A

4 X + 6 X ≤ 48
E

A) Función Objetivo
MAX Z = 34 X1 + 40 X2

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SOLUCION ANALITICA:
Tabla de Solución analítica del problema
SOLUCION
Variable
X1
X2

Restricción
Extrusión
Embalaje
Mezcla

Valor de
La Variable
3
6

Coeficienteoriginal
34
40

Sensibilidad
del Coeficiente
0
0

Valor original
Lado derecho
48
18
16

Holgura o
Excedente
0
0
4

Precio
Sombra
3
11
0

Coeficiente
original
34
40

Límite
Superior
40
51

Valor
original
48
18
16

Límite
Superior
54
20
Sin límite

Valor de la Función Objetivo : 342
ANÁLISIS Y RANGOS DE SENSIBILIDAD
Coeficientes de la Función Objetivo
Variable
Límite
Inferior
X1
26.6667
X2
34
Valores dellado derecho
Variable
Extrusión
Embalaje
Mezcla

Límite
Inferior
40
16
12

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Variables de Holgura y de Excedentes:
Tanto de la tabla de la Solución analítica como del gráfico anterior podemos ver que la
mezcla de productos óptima agotará todos los recursos de extrusión y embalaje, porque en
el punto vértice óptimo (3,6), las dos restricciones se conviertenen igualdades. Al sustituir
los valores de X1 y X2 en esas restricciones, vemos que el lado izquierdo de las ecuaciones
se vuelve igual al lado derecho de las mismas:
4(3) + 6(6) = 48 (horas de extrusión)
2(3) + 2(6) = 18 (horas de embalaje)
Una restricción como la correspondiente a la extrusión que ayuda a formar el punto vértice
óptimo recibe el nombre de restricción obligatoria, porque limita...