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Dpto. de Matemáticas
4º Diferenciado

PARTE 1: PROGRESIONES Y SUMATORIAS

Intuitivamente podemos describir una sucesión como una lista de objetos, eventos o números que vienen uno después del otro, es decir, una lista de cosas dadas en algún orden definido. Cada objeto de una sucesión se llama término.

Matemáticamente puede definirse una sucesión como una función f cuyodominio es el conjunto N de enteros positivos. El rango de la sucesión se reconoce como el de los números reales.

Se considera [pic][pic]como el primer termino de la sucesión. [pic] Será el segundo, y [pic] es el término n-ésimo de la sucesión o termino general de la sucesión.

1) Progresiones Aritméticas:

En la sucesión 1, 3, 5, 7 … nótese que cada término, después del primero seobtiene sumando el número 2 al anterior. Es decir los términos sucesivos difieren en 2. Una sucesión de este tipo se conoce como Progresión Aritmética o sucesión Aritmética.

Definición: Una sucesión, tal que los términos sucesivos [pic] para n = 1, 2, 3 … tienen una diferencia fija [pic] se llama progresión aritmética. El número d se llama diferencia aritmética de la progresión.

De estadiferencia [pic] se obtiene la igualdad [pic]
La que corresponde a la formula del término general o n-ésimo, la cual establece que:

[pic]
[pic]
[pic]
.
.
.
[pic]

Ejemplo.1 Una mujer decide trotar una distancia particular cada semana, de acuerdo con el siguiente horario: la primera semana trotará 1000 metros por día. Cada semana siguiente trotara 250 metros más por día de lo que trotola semana anterior.

a) ¿Qué distancia recorrerá por día en la semana numero 26?
En este caso[pic]y [pic]. Luego
[pic] es decir trotara 7250 metros en la semana 26.
b) ¿en cual semana trotara 10000 metros por día?
Aquí se nos da [pic] y se requiere encontrar n.
Se tiene la igualdad [pic]en la cual despejamos n

Y nos queda: [pic]Es decir, trotara 10000 metros en la semana 37.

Ejemplo 2 La diferencia en una progresión aritmética es -2 y el sexto término es 3. Encuentre el primer término de la progresión.

El sexto término de la progresión es
[pic]como [pic] tenemos que
[pic] de donde
[pic]

Luego lasecuencia es 13, 11, 9, 7, 5, 3, … (el sexto término de esta secuencia es 3)

Ejemplo 3 EL sexto término de una PA es 21 y el tercer término de la misma es 9. Determinar el valor del primer término y la diferencia.
[pic] restando las dos ecuaciones se tiene

[pic]
Si d = 4 entonces el primer termino es 1.

Media Aritmética:
Si unaprogresión aritmética finita tiene tres términos a, m, b. Al segundo término se llama media aritmética de a y b.
Esto es: [pic]
Luego se deduce que [pic]
En general, si se tiene una progresión aritmética [pic] es una progresión aritmética finita con (k + 2) términos entonces los números entre a y b se llaman k medias aritméticas.

EJEMPLO: Intercale cuatro medios aritméticosentre 4 y 29.

4 ___ ___ ___ ___ 29

Entonces
[pic]
[pic] es decir
[pic]

Luego si d = 5 entonces los 4 medios aritméticos son 9, 14, 19 y 24.

Suma de n términos en PA

Sea la suma de n términos en PA
[pic]
Formula para determinar la suma de n términos enPA

Ejemplo: Calcular la suma de los 51 primeros términos de la serie: 1-7-13-19…
[pic]
Ejemplo 2: Si la suma de los 50 primeros términos de una PA suman 200 y la suma de los 50 siguientes es 2700. Determinar el primer término y la diferencia.

[pic]de donde se obtienen los resultados

[pic] lo que puede escribirse de la manera siguiente...