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Tarea #6
Problema 8: Póngase el siguiente programa en forma estándar:
MINIMIZAR Z = 24X1 + 42X2
Sujeto a: 4X1 + 8X2 ≥ 2
4X1 + 2X2 ≥ 4
8X1 + 8X2 ≥ -1
Ya que X1 y X2 no tienen restricciones, se fijan X1 = X3 – X4 y X2 = X5 – X6 en donde se requiere que todas las cuatro nuevas variables sean no negativas. Sustituyendo estas cantidades en el programa dado y multiplicando la última restricciónpor – 1, para obligar a que tengan un lado derecho no negativo, se obtiene el programa equivalente:

MINIMIZAR Z = 24X3 – 24X4 + 42X5 – 42X6
Sujeto a: 3X3 – 3X4 + 8X5 – 8X6 ≥ 2
4X3 – 4X4 + 6X5 – 6X6 ≥ 4
– 8X3 + 8X4 – 8X5 + 8X6 ≤ 1
X3, X4, X5, X6 ≥ 0
Este programa se convierte a la forma estándar restando las variables de excedente X7 y X8, respectivamente, de los lados izquierdos de lasprimeras dos restricciones; agregando una variable de holgura X9 al lado izquierdo de la tercera restricción y después añadiendo las variables artificiales X10 y X11, respectivamente, a los lados izquierdos de las primeras dos restricciones. Así se obtiene:

MINIMIZAR Z = 26X3 – 26X4 + 42X5 – 42X6 + 0X7 + 0X8 + 0X9 + MX10 + MX11
Sujeto a: 2X3 – 2X4 + 8X5 – 8X6 – X7 + X10 = 2
4X3 – 4X4 + 6X5– 6X6 – X8 + X11 = 4
– 8X3 + 8X4 – 8X5 + 8X6 + X9 = 2
X3, X4, X5, X6, X7, X8, X9, X10, X11 ≥ 0
La solución inicial a este programa en forma estándar es:
X3 = X4 = X5 = X6 = X7 = X8 = 0; X9 = 1; X10 = 2; X11 = 4

Problema 9:
a) Póngase en forma estándar el siguiente problema:
MAXIMIZAR Z = 82X1 + 42X2
Sujeto a: 2.24X1 + 2.24X2 ≤ 2.28
2X1 + X2 = 2
X1, X2 ≥ 0
Paraconvertir la primera restricción en igualdad, agréguese una variable de holgura X3 al lado izquierdo. Ya que la segunda restricción es una ecuación, no contiene una variable de holgura, agréguese una variable artificial X4 al lado izquierdo. Ambas nuevas variables se incluyen en la función objetivo, la variable de holgura con coeficiente de costo 0 y la variable artificial con coeficiente de costonegativo muy grande – M, dando el problema:

MAXIMIZAR Z = 82X1 + 44X2 + 0X3 – MX4
Sujeto a: 2.24X1 + 2.24X2 + X3 = 2.28
2X1 + X2 + X4 = 2
X1, X2, X3, X4 ≥ 0
Este programa está en forma estándar, con una solución factible inicial:
X1 = 0; X2 = 0; X3 = 2.28; X4 = 2

b) Resuélvase el problema anterior si se ha de minimizar el objetivo

Se multiplica la función objetivo por –1.
– Z = –82X1 – 44X2 – 0X3 – MX4
Es decir, el único cambio está en el coeficiente de costo asociado con la variable artificial; se vuelve + M en lugar de – M.

MAXIMIZAR Z = 82X1 + 42X2 + 0X3 + MX4
Sujeto a: 2.24X1 + 2.24X2 + X3 = 2.28
2X1 + X2 + X4 = 2
X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Problema 30: resolver por medio del método simplex en forma tabular:
MAXIMIZAR Z = 2X1 + 2X2
Sujeto a: 2X1 + 2X2 ≤ 134X1 + X2 ≤ 18
– 2X1 + X2 ≥ 4
X1 , X2 ≥ 0
Ampliando el problema:
MAXIMIZAR Z = 4X1 + 2X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 + Mt
Sujeto a: 2X1 + 4X2 + S1 = 13
4X1 + X2 + S2 = 28
– 2X1 + X2 – S3 + t = 4
X1 , X2 , S1 , S2 , S3 , t ≥ 0
Se considera: W = Z – Mt = 4X1 + 2X2 – Mt como la ecuación objetivo artificial, o, de manera equivalente: – 4X1 – 2X2 + Mt + W = 0. En donde M es un número positivogrande.

A continuación se construye la matriz aumentada:
I | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | t | W | b |
S1 | 2 | 4 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 | 24 |
S2 | 4 | 1 | 0 | 2 | 0 | 0 | 0 | 28 |
t | -2 | 1 | 0 | 0 | -2 | 2 | 0 | 4 |
W | -4 | -2 | 0 | 0 | 0 | M | 1 | 0 |

Para obtener la matriz simplex I, se reemplaza la M que está en la columna de la variable artificial por cero, sumando al renglón 4 elrenglón 3 multiplicado por – M.

4° más 3° por -M | | I | X1 | X2 | S1 | S2 | S3 | T | W | b | Cocientes |
| | S1 | 2 | 3 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 24 | 24/4=6 |
| | S2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 18 | 28/6=4.6 |
| | t | -2 | 1 | 0 | 0 | -1 | 1 | 0 | 4 | 4/2=2 |
| | W | -4+2M | -2-M | 0 | 0 | M | 0 | 1 | -4M | |

Las variables S1, S2 y t que se encuentran del lado...