Arco capaz

Arco capaz

Arco capaz del segmento AB, de ángulo λ.
El arco capaz es el lugar geométrico de los puntos desde los que un segmento AB se ve con el mismo ángulo; es decir, el lugar geométrico de losvértices y ángulos que tienen la misma amplitud y abarcan un mismo segmento.
El arco capaz de un segmento AB, de ángulo λ, es un arco de circunferencia que contiene el vértice del ángulo λ, y lospuntos A y B. El ángulo que subtiende el segmento AB visto desde el centro del círculo es 2λ.
En rigor, el lugar geométrico de los puntos que ven un mismo ángulo respecto al segmento AB está realmentecompuesto por dos de estos arcos simétricamente dispuestos respecto al segmento AB.
El caso más conocido es el arco capaz es aquél cuyo ángulo es λ = 90º. Este caso se corresponde con el 2º teoremade tales de tal modo que el arco capaz es la semicircunferencia cuyo diámetro es precisamente el segmento AB.
El arco capaz es muy útil en dibujo para resolver problemas geométricos que implicanpolígonos y ángulos

Demostración
En esta sección se mostrará que dado un arco de circunferencia de centro C y la cuerda AB que limita dicho arco, el ángulo λ que forma el segmento AB con respecto acualquier punto P del arco es constante. De este modo el arco de circulo es el arco capaz del segmento AB y de ángulo λ.
Para ello se considerarán dos casos:
* Caso I: Puntos comprendidos entre losdiámetros que pasan por A y B.
* Caso II: Resto de puntos que componen el arco.
Puntos comprendidos entre los diámetros que pasan por A y B

Caso I: Puntos comprendidos entre los diámetros quepasan por A y B
Puesto que C es el centro del arco de circunferencia que pasa por A y B los segmentos CA, CB y CP son iguales, de tal manera que los triángulos ACB, PCB y ACP son isósceles.
De estemodo, el ángulo PCB es 180 – 2CPB y el ángulo PCA es 180 – 2CPA.
Puesto que PCB + PCA + ACB = 360. Entonces:
360= (180-2CPB)+(180-2CPA)+ACB
CPB + CPA = ½ACB
Por otra parte CPB + CPA es el ángulo...