area bajo la curva

AREAS.

Refiriéndonos a la historia, el cálculo integral se dio a la luz gracias al problema geométrico de hallar áreas de regiones no poligonales, es decir de regiones con aspecto curvo(imagínenselo por ustedes mismos). De hecho, vamos a mostrar, -no como los antiguos griegos-pero de la forma más moderna, el cómo podemos hallar áreas haciendo uso de la integral. Comencemos dando una primeradefinición de la relación que existe entre la integral y el área (bajo curva en primera medida) de una región no poligonal:

AREAS BAJO CURVA

Definición: Sí f es continua y no negativa en unintervalo cerrado (a, b), el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje x y las rectas verticales x= a y x=b viene dada por la siguiente gráfica:


Observemos la siguiente:


En ellase ve que f es una función continua, positiva (por encima del eje x), y la región R está limitada (acotada) por las rectas verticales x=a y x=b. Podemos hallar el área de la región R por medio de unaintegral definida aplicando la definición anterior.
Como lo hemos planeado, daremos algunos ejemplos para ver como se puede aplicar la definición.
EJEMPLO 1:
Hallar el área de la región acotada porla curva f(x)=4 y las rectas x= -3 y x= 2
SOLUCIÓN:
1. TRAZO DE LA REGIÓN: En primera medida, se debe trazar la región que se pide. Aquí f es positiva y continua. Abajo se muestra la regiónestablecida.



Obsérvese que esta región es rectangular, luego se puede encontrar su área usando los métodos de la geometría. Desde este punto de vista se puede hacer lo siguiente:
A= b.h = [2 – (-3)](4) = 20


EJEMPLO:
1.- Calcular el área bajo la curva de la función f(x)= 4x y graficar la función




2.- Luis le pregunta a su amigo Juan: Si maneje a una velocidad constante de 80 Kmpor hora durante 3 horas, ¿Que distancia recorrí?. Juan le contesto que 240 Km por hora. Claro, dijo Luis, quiero que lo resuelvas usando una gráfica.
Juan trazo un dibujo como el que sigue y...